Uspořádání dělitelností

Uvažme relaci ''\(x\) je dělitelem čísla \(y\)'' na množině \(\{1,\ldots,n\}\).

Varianta
Dokažte, že tato relace je (neostré) uspořádání.
Řešení
Reflexivita: \(x\) je dělitelem sebe sama.

Antisymetrie: když \(x\) dělí \(y\) a \(y\) dělí \(x\), potom \(x=y\).

Tranzitivita: když \(x\) dělí \(y\) a \(y\) dělí \(z\), potom \(x\) dělí \(z\).
Varianta
Má toto uspořádání nějaký největší a nejmenší prvek?
Řešení
Toto uspořádání má nejmenší prvek 1, a pokud \(n>2\), tak nemá největší prvek. Je-li \(n\leq 2\) tak je \(n\) největším prvkem.
Varianta
Má toto uspořádání nějaký minimální a maximální prvek?
Řešení
Číslo 1 je jediný minimální prvek a prvky \(\lfloor\frac{n}2\rfloor+1,…,n\) jsou maximální prvky.
Varianta
Čemu v tomto uspořádání odpovídá infimum a supremum neprázdné podmnožiny?
Řešení
Infimum je největší společný dělitel a supremum je nejmenší společný násobek.