Matice Hammingova kódu
Úloha číslo: 3806
Určete generující matici Hammingova kódu \(H_3\) (odvozeného z Fanovy roviny).
Řešení
Kód má dimenzi 4, stačí najít 4 lineárně nezávislé vektory. Vezmeme-li kódy odpovídající přímkám procházejícím jedním bodem: 1010001, 1001010, 1100100, zjistíme, že jsou lineárně nezávislé, protože každý z ostatních šesti vrcholů náleží jen jedné z těchto přímek.
Jejich součtem je vektor 1111111, a s jeho pomocí dostaneme doplněk libovolného slova.
Třeba ještě najít jeden vektor, který je na uvedených třech lineárně nezávislý, tedy např. 0101001. Všimněte si, že tyto vektory rozlišují zbylé dvojice bodů z výchozí trojice přímek.
Odpověď
Hledanou maticí je např. matice \( \begin{pmatrix} 1&0&1&0&0&0&1\\ 1&0&0&1&0&1&0\\ 1&1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&1&0&0&1 \end{pmatrix} \).
