Neizomorfní uspořádání
Úloha číslo: 4525
Najděte nekonečně mnoho neizomorfních uspořádání na množině přirozených čísel.
Řešení
Zvolíme libovolné \(k\). Upravíme standardní uspořádání přirozených čísel tak, že prvních \(k\) čísel nebude porovnatelných s žádnými jinými. Uspořádání pro různá \(k\) nebudou izomorfní, protože mají různé počty minimálních prvků.
Varianta
Najděte nekonečně mnoho neizomorfních lineárních uspořádání na množině přirozených čísel.Řešení
Chceme-li lineární uspořádání: vyjdeme ze standardního uspořádání racionálních čísel. Jelikož racionální čísla jsou spočetná, můžeme toto uspořádání přenést bijekcí na přirozená čísla. Pak můžeme z uspořádání odstranit čísla 0 až \(k\), uspořádat je lineárně a přilepit před ostatní čísla. Tím vznikne uspořádání, které má minimum s \(k\) následníky, poslední z nichž už následníka nemá. Tím pádem jsou tato uspořádání neizomorfní.
