Alternativní axiomatizace I.
Úloha číslo: 3718
Ukažte, že v definici projektivní roviny, lze axiom o existenci čtveřice bodů v obecné poloze nahradit jedním z následujících axiomů a přitom bude pozměněná sada opět definovat konečné projektivní roviny:
Varianta
Existují dvě různé přímky s alespoň třemi body, formálně: \(\exists P,Q \in \mathcal P: P \not= Q \wedge |P| \geq 3 \wedge |Q| \geq 3\).
Nápověda
Nakreslete si obrázky k axiomům.
Řešení
Je-li \((X,\mathcal P)\) konečná projektivní rovina podle původní definice, uvažme množinu \(C=\{a,b,c,d\}\) čtyř bodů v obecné poloze.
Přímka \(P\) spojující \(a\) a \(b\) se s přímkou \(Q\) procházející \(c\) a \(d\) protíná ve třetím bodě mimo \(C\), tedy tyto dvě přímky naplňují pozměněný axiom.
Obráceně, splňuje-li \((X,\mathcal P)\) pozměněnou sadu axiomů, uvažme přímky \(P\) a \(Q\). Kromě společného průniku nechť \(P\) obsahuje další dva body \(a\) a \(b\), a \(Q\) zas \(c\) a \(d\). Potom \(C=\{a,b,c,d\}\) je hledaná čtveřice bodů v obecné poloze, a tedy \((X,\mathcal P)\) je projektivní rovina.
Kdyby totiž nějaká přímka \(P'\in \mathcal P\) protínala \(C\) v alespoň třech bodech, potom by se s \(P\) nebo \(Q\) protínala v alespoň dvou bodech, což je zakázáno podle axiomu, který říká, že dva body jednoznačně určují přímku.
Zbylé dva axiomy (o tom, že dva body určují přímku a že se dvě přímky protínají v právě jednom bodě) jsou v původní i pozměněné definici a proto je není nutné jakkoli ověřovat.
Varianta
\(X\) nelze pokrýt dvěma přímkami.
Řešení
Je-li \((X,\mathcal P)\) konečná projektivní rovina podle původní definice, uvažme množinu \(C=\{a,b,c,d\}\) čtyř bodů v obecné poloze.
Kdyby pro spor \(X\) bylo pokryto dvěma přímkami \(P\) a \(Q\), musely by obě pokrýt právě dva body z \(C\). Bez újmy na obecnosti \(P\) pokryje \(a\) a \(b\) a \(Q\) zbylé dva body.
Přímka \(P'\) spojující \(a\) a \(c\) se s přímkou \(Q'\) procházející \(b\) a \(d\) protíná v bodě mimo \(P\cup Q\), tedy tyto dvě přímky nepokrývají \(X\), což je spor. Pozměněný axiom tedy vyplývá z původních.
To, že z pozměněné sady axiomů vyplývá původní lze dokázat např. pomocí obráceného tvrzení – neboli z neexistence čtveřice bodů v obecné poloze nalezneme pokrytí dvěma přímkami.
Nemá-li \((X,\mathcal P)\) ani trojici bodů v obecné poloze, leží všechny body na jediné přímce. Uvažme proto tři různé body \(a\), \(b\) a \(c\) v obecné poloze, kde \(a\) a \(b\) určují přímku \(P\), a podobně zbylé dvě dvojice \(a,c\) a \(b,c\) určují přímky \(Q\) a \(R\).
V každé čtveřici typu \(a,b,c,x\) lze nalézt přímku se třemi body, tedy zbylé body \(X\setminus \{a,b,c\}\) lze rozdělit na tři skupiny podle příslušnosti k přímkám \(P, Q\) a \(R\). Kdyby některé dvě z těchto přímek měly obě alespoň tři body, např. \(P\) by měla navíc \(x\) a \(Q\) by měla navíc \(y\), dostali bychom čtveřici bodů \(b,c,x,y\) v obecné poloze. Tedy jedna z uvedených tří přímek obsahuje všechny zbylé body \(X\setminus \{a,b,c\}\), tedy pokrývá \(|X|-1\) bodů. Na pokrytí jediného zbývajícího bodu postačí libovolná přímka jím procházející.
Alternativně lze tuto implikaci dokázat i přímo. Množina \(X\) má trojici bodů \(a,b,c\) v obecné poloze, jinak bychom ji pokryli jednou přímkou. Nechť \(P\) prochází \(a,b\), přímka \(Q\) skrz \(a,c\) a přímka \(R\) skrz \(b,c\).
Protože \(P\) a \(Q\) nepokrývají \(X\), existuje bod \(d\) mimo \(P\cup Q\). Pokud \(d\notin R\), jsme hotovi a \(C=\{a,b,c,d\}\) je hledaná čtveřice bodů. Jinak \(P\cup R\) také nepokrývá \(X\), tedy existuje nepokrytý bod \(e\), a abychom se vyhli analogii s předchozím případem předpokládejme, že \(e\in Q\). Potom ovšem \(C=\{b,c,d,e\}\) je hledaná čtveřice bodů.