Nestandardní spravedlivé kostky
Úloha číslo: 3698
Sestrojte dvě šestistěnné kostky takové, že na jejich stěnách jsou napsána přirozená čísla (stejné číslo může být napsáno na více stěnách, nula není přirozené číslo). Pro libovolné \(k\) platí, že pravděpodobnost, že po hodu těmito dvěma kostkami padne součet \(k\) je stejná jako při hodu standardními (poctivými) kostkami, přitom se ale o standardní kostky nejedná.
Nápověda
Nejprve popište posloupnost pravděpodobností vhodnou vytvořující funkcí. Pak tuto funkci zkuste rozložit tak, aby odpovídala hledaným nestandardním kostkám.
Řešení
Pravděpodobnost, že při hodu dvěma poctivými standardními šestistěnnými kostkami padne součet \(k\) je rovna koeficientu u \(x^k\) v polynomu \[ P(x) = \frac{1}{36}(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2. \] Tento polynom můžeme upravit na \[\begin{equation*} \begin{split} P(x) &= \frac{1}{36}x^2(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) \cr &= \frac1{36}x^2(1+x+x^2)(1 + x^3)(1+x)(1 + x^2 + x^4). \end{split} \end{equation*}\] Všimněte si, že v prvním součiniteli jsme vytkli \(1 + x + x^2\), zatímco v druhém jsme vytkli \(1+x\) (obojí je možné). Nyní součinitele přeuspořádáme a dostaneme: \[\begin{equation*} \begin{split} P(x) &= \frac1{36}x(1+x+x^2)(1 + x) \cdot x(1+x^3)(1 + x^2 + x^4) \cr &= \frac1{36}(x + 2x^2 + 2x^3 + x^4) \cdot (x + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^8). \end{split} \end{equation*}\] Odtud vidíme, že když vytvoříme dvě spravedlivé šestistěnné kostky, na první kostce budou čísla 1, 2, 2, 3, 3, 4 a na druhé kostce budou čísla 1, 3, 4, 5, 6, 8, tak pravděpodobnost, že při hodu těmito dvěma kostkami padne součet \(k\) je opět rovna koeficientu u \(x^k\) v polynomu \(P(x)\). Tím jsme dostali požadované kostky.