Rekurence s odmocninou
Úloha číslo: 3701
Pro posloupnost zadanou rekurentním vztahem \(a_0=2, a_1=8, a_{n+2}=\sqrt{a_n a_{n+1}}\) určete \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n\).
Řešení
Zavedeme posloupnost \(b_n=\log_2 a_n\).
Platí \(b_0=1\), \(b_1=3\) a \(b_{n+2}=\frac{b_{n+1}+b_n}2\).
Podle předchozí úlohy je \(\lim_{n\to\infty} b_n=\frac{b_0+2b_2}3=\frac73\).
Odpověď
Limita posloupnosti je \(2^{7/3}=4 {\cdot} 2^{1/3}\).