Dělníci na stavbě

Úloha číslo: 3469

Stavař Pavel nabírá dělníky pro stavbu nového domu. Každý z 80 dělníků, kteří se přihlásili do náboru, ovládá alespoň jednu z profesí: zedník, tesař, malíř, dokonce jich 15 ovládá všechny tři profese. Dále Pavel zjistil, že zdít umí 50 zájemců o práci a že mezi zájemci je i stejný počet malířů. Tesařské řemeslo ovládá jen 45 zájemců.

Kolik by Pavel najal pracovníků, kdyby vybral všechny takové, co ovládají právě dvě profese?

  • Řešení

    Označme \(A,B,C\) možiny zedníků, malířů a tesařů.

    Ze zadání víme, že \(|A\cup B \cup C|=80, |A|=|C|=50, |B|=45, |A\cap B\cap C|=15\).

    Úpravou principu inluze a exkluze: \(|A\cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B \cap C|\) dostaneme: \(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+|A\cap B \cap C|-|A\cup B \cup C|=50+45+50+15-80=80\)

    V každé z těchto tří množin je však započteno 15 všeumělů, co ovládají všechny tři profese, proto je musíme třikrát odečíst.

    Správné by bylo ještě ověřit, že množinový systém s uvedenými vlastnostmi vůbec existuje. Takových je více, například:

  • Odpověď

    Pavel by najal 35 dělníků.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha řešená úvahou
En translation
	Zaslat komentář k úloze