Barevný tisk

Úloha číslo: 3428

Barevná inkoustová tiskárna dokáže umístit až 8 kapek na jeden bod. Kapka může mít azurovou (C-Cyan), fialovou (M-Magenta), žlutou (Y-Yellow) nebo černou (K-blacK) barvu. Kolik různých barevných odstínů lze dosáhnout v jednom bodě, předpokládame-li, že smíšení tří různobarevných (CMY) kapek má stejný efekt, jako dvě černé? (Např. odstín 3C+2Y+M+K je stejný jako 2C+Y+3K.)

  • Nápověda

    Zjednodušte si situaci tím, že budete předpokládat, že kapek je vždy osm.

  • Řešení

    Představme si, že je-li kapek méně než 8, doplníme je do počtu osmi kapkami čiré barvy. Potom celkový počet možností tisku na jeden bod je stejný jako rozdělení osmi kapek do pěti přihrádek, t.j. \(\binom{12}4\).

    Ty odstíny, které lze vytvořit různými způsoby, byly ovšem započteny vícekrát – některé dvakrát, jiné třikrát. Jsou to takové případy, které dovolují barvu vyjádřit jako kombinaci kapiček, v nichž se vyskytne alespoň jedna C, alespoň jedna M i alespoň jedna Y.

    Odečteme tedy případy, kdy se barvy CMY vyskytnou alespoň jedenkrát, tedy \(\binom{9}4\) možností. Všimněte si, že tyto možnosti zahrnují i případy, kdy se barvy CMY vyskytnou alespoň dvakrát (např. 3C+2Y+2M je odečten spolu s 2C+Y+M+2K a tento odstín bude možné získat jen jako C+4K).

    Využili jsme faktu, že náhrada barevných za černé je vždy možná, což ovšem opačně neplatí.

  • Odpověď

    Uvedeným postupem lze získat \(\binom{12}4-\binom{9}4=495-126=369\) barevných odstínů.

Obtížnost: Středně těžká úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
En translation
	Zaslat komentář k úloze