Monty Hallův problém

Úloha číslo: 3509

V zábavném pořadu Let's Make a Deal nabízel moderátor Monty Hall výhru pod následujícími pravidly: Výhra – automobil je schovaná za jedněmi ze tří dveří. Za zbylými dvěmi je cena útěchy – koza. Hráč nejprve na některé dveře ukáže. Moderátor, který ví kde se skrývá výhra, otevře z ostatních dveří takové, že je za nimi výhra není. V této situaci má hráč otevřít jedny ze zbylých dvou dveří, aby dostal, co se za nimi skrývá.

Je pro hráče výhodné změnit názor a otevřít jiné dveře, než na které prve ukázal?

  • Nápověda

    Předpokládejte bez újmy na obecnosti, že hráč ukázal na první dveře. Nyní uvažme situaci, kdy moderátor otevřel druhé dveře, což označíme jako jev B. Pro správné rozhodnutí je třeba určit podmíněné pravděpodobnosti \(P(A_i|B)\), kde \(A_i\) značí jev, kdy výhra je za \(i\)-tými dveřmi.

  • Řešení

    Nejprve si uvědomme, že pracujeme v pravděpodobnostním prostoru \((\Omega,P)\) tvořeným devíti elementárními jevy \((i,j)\), kde \(i\) značí umístění výhry a \(j\) dveře otevřené moderátorem. Pravděpodobnost elementárních jevů prozatím neznáme, vyjma případů \(i=j\), kdy je nulová.

    Abychom využili Bayesovu větu \(P(A_i|B)=\frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}\),

    potřebujeme určit pravděpodobnosti \(P(A_i)\), \(P(B|A_i)\) a \(P(B)\).

    Je-li rozmístění výher náhodné, je \(P(A_i)=\frac13\) pro všechna tři \(i\).

    Z povahy hry \(P(B|A_2)=0\), protože moderátor nemůže otevřít dveře s výhrou.

    Podobně \(P(B|A_3)=1\), protože v tomto případě moderátor nemá na výběr.

    Naopak \(P(B|A_1)=\frac12\), protože si moderátor může vybrat druhé nebo třetí dveře.

    Pro určení \(P(B)\) využijeme fakt, že jevy \(A_i\) jsou navzájem neslučitelné a pokrývají \(\Omega\). Odtud \(B=(B\cap A_1)\cup (B\cap A_2) \cup (B\cap A_3)\), neboli \(P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)= P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)= \)

    \( \frac13\cdot\frac12 + \frac13{\cdot} 0+\frac13{\cdot} 1 = \frac12 \).

    Pravděpodobnost výhry, setrvá-li hráč u své volby je: \(P(A_1|B)=\frac{\frac13\cdot\frac12}{\frac12}=\frac13\).

    Změní-li názor, bude mít šanci: \(P(A_3|B)=\frac{\frac13{\cdot}1}{\frac12}=\frac23\).

    Alternativní, méně formální argument. Pravděpodobnost, že se výhra skrývá za prvními dveřmi je \(\frac{1}{3}\). S touto pravděpodobností hráč získá výhru, pokud svou volbu nezmění.

    Změní-li svou volbu, zbývají už jediné dveře, kde může být výhra skryta. Proto je pravděpodobnost výhry rovna doplňku pravděpodobnosti prohry. Prohra nastane v případě, že výhra je skrytá za prvními dveřmi. Jak už jsme spočítali, toto nastane s pravděpodobností \(\frac{1}{3}\), čili pravděpodobnost výhry je \(\frac{2}{3}\).

  • Odpověď

    Je výhodné změnit názor, protože v tomto případě hráč získá výhru s pravděpodobností \(\frac23\).

Obtížnost: Obtížná úloha
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze