Odhad faktoriálu
Úloha číslo: 3672
Dokažte následující odhad faktoriálu: \( n^{n/2} \le n! \le \left(\frac{n+1}{2}\right)^n \)
Řešení
Využijeme \((n!)^2=\prod\limits_{i=1}^n i(n+1-i)\).
Dolní odhad plyne z \(i(n+1-i)\ge n\), protože pro \(i=1\) nebo \(n\) platí rovnost a v ostatních případech je menší z činitelů alespoň 2 a větší alespoň \(\frac{n}2\).
Horní odhad plyne z AG nerovnosti \(\sqrt{ab}\leq \frac12(a+b)\), tedy \(i(n+1-i)\leq \left(\frac{n+1}2\right)^2\).
