Prvočíselně vypadající čísla
Úloha číslo: 3472
Řekneme, že číslo je prvočíselně vypadající, pokud je složené ale není dělitelné 2, 3 ani 5. Tři nejmenší prvočíselně vypadající čísla jsou 49, 77 a 91.
Víme, že prvočísel menších než 1000 je 168. Kolik je prvočíselně vypadajících čísel menších než 1000?
Řešení
Je celkem \(499\) čísel menších než \(1000\), které jsou dělitelné dvěma.
Dále \(333\) dělitelných třemi, \(199\) dělitelných \(5\), \(166\) dělitelných \(6 = 2{\cdot} 3\), \(99\) dělitelných \(10 = 2{\cdot} 5\), \(66\) dělitelných \(15 = 3{\cdot} 5\) a konečně \(33\) dělitelných \(30 = 2{\cdot} 3\cdot 5\).
Tedy použitím principu inkluze a exkluze je \[499 + 333 + 199 - 166 - 99 - 66 + 33 = 733\] čísel, které nemohou být prvočíselně vypadající. Protože tato čísla jsou dělitelná \(2,\ 3\) nebo \(5\) – včetně těchto prvočísel.
Tedy nám zbývá \(999 - 733 = 266\) čísel. Všechna ale nejsou prvočíselně vypadající, protože některá jsou opravdová prvočísla! Prvočísel menších než \(1000\) je podle zadání \(168\), z těchto je třeba vynechat \(2{,}3,5\), která jsme už odečetli dříve. Ovšem musíme ještě odečíst 1, protože není ani prvočíslo ani složené. Získáme celkem \( 266 - 166 = 100\).
Odpověď
Prvočíselně vypadajících čísel menších než 1000 je 100.