Prvočíselně vypadající čísla

Úloha číslo: 3472

Řekneme, že číslo je prvočíselně vypadající, pokud je složené ale není dělitelné 2, 3 ani 5. Tři nejmenší prvočíselně vypadající čísla jsou 49, 77 a 91.

Víme, že prvočísel menších než 1000 je 168. Kolik je prvočíselně vypadajících čísel menších než 1000?

  • Řešení

    Je celkem \(499\) čísel menších než \(1000\), které jsou dělitelné dvěma.

    Dále \(333\) dělitelných třemi, \(199\) dělitelných \(5\), \(166\) dělitelných \(6 = 2{\cdot} 3\), \(99\) dělitelných \(10 = 2{\cdot} 5\), \(66\) dělitelných \(15 = 3{\cdot} 5\) a konečně \(33\) dělitelných \(30 = 2{\cdot} 3\cdot 5\).

    Tedy použitím principu inkluze a exkluze je \[499 + 333 + 199 - 166 - 99 - 66 + 33 = 733\] čísel, které nemohou být prvočíselně vypadající. Protože tato čísla jsou dělitelná \(2,\ 3\) nebo \(5\) – včetně těchto prvočísel.

    Tedy nám zbývá \(999 - 733 = 266\) čísel. Všechna ale nejsou prvočíselně vypadající, protože některá jsou opravdová prvočísla! Prvočísel menších než \(1000\) je podle zadání \(168\), z těchto je třeba vynechat \(2{,}3,5\), která jsme už odečetli dříve. Ovšem musíme ještě odečíst 1, protože není ani prvočíslo ani složené. Získáme celkem \( 266 - 166 = 100\).

  • Odpověď

    Prvočíselně vypadajících čísel menších než 1000 je 100.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na trénování výpočtu
En translation
	Zaslat komentář k úloze