Sbírka matematických úloh

Body v rovině

Úloha číslo: 3788

• Varianta

  buď $k$ bodů na přímce nebo $k$ bodů v obecné poloze.

• Řešení

  Zvolíme $n=R_{3{,}2}(k)$ podle Ramseyovy věty pro trojice a dvě barvy.

  Trojice na $n$ bodech barvíme tak, že trojice v obecné poloze obarvíme jednou barvou, a kolineární trojice druhou.

  Monochromatický systém trojic na $k$ bodech odpovídá buď $k$ bodům v obecné poloze, nebo $k$ bodům na společné přímce.

• Varianta

  buď $k$ bodů na přímce nebo $k$ bodů v konvexní poloze.

• Řešení

  Nejprve určíme $l$, což je nutný počet bodů v obecné poloze, aby mezi nimi podle Erdős-Szekeresovy věty byla $k$-tice bodů v konvexní poloze.

  Poté podle Ramseyovy věty pro trojice najdeme $n=R_3(k,l)$ tak, abychom buď měli $k$ bodů na společné přímce nebo $l$ bodů v obecné poloze.