Body v rovině

Dokažte, že pro každé \(k \in \mathbb N\) existuje \(n \in \mathbb N\) takové, že libovolných \(n\) bodů v rovině obsahuje:

Varianta
buď \(k\) bodů na přímce nebo \(k\) bodů v obecné poloze.
Řešení
Zvolíme \(n=R_{3{,}2}(k)\) podle Ramseyovy věty pro trojice a dvě barvy.

Trojice na \(n\) bodech barvíme tak, že trojice v obecné poloze obarvíme jednou barvou, a kolineární trojice druhou.

Monochromatický systém trojic na \(k\) bodech odpovídá buď \(k\) bodům v obecné poloze, nebo \(k\) bodům na společné přímce.
Varianta
buď \(k\) bodů na přímce nebo \(k\) bodů v konvexní poloze.
Řešení
Nejprve určíme \(l\), což je nutný počet bodů v obecné poloze, aby mezi nimi podle Erdős-Szekeresovy věty byla \(k\)-tice bodů v konvexní poloze.

Poté podle Ramseyovy věty pro trojice najdeme \(n=R_3(k,l)\) tak, abychom buď měli \(k\) bodů na společné přímce nebo \(l\) bodů v obecné poloze.