Odhad prostředního kombinačního čísla
Úloha číslo: 3678
Odhadněte kombinační číslo \(2m \choose m\) pomocí odhadů pro faktoriál dokázaných na přednášce (viz nápověda).
Nápověda
Použijte odhady \( e\left(\frac{n}e\right)^n < n! < ne\left(\frac{n}e\right)^n \)
Řešení
Dosadíme do \( \binom{2m}m=\frac{(2m)!}{(m!)^2}\) a dostaneme:
\( \frac{(2m)!}{(m!)^2}< \frac{2me\left(\frac{2m}e\right)^{2m}}{\left(e\left(\frac{m}e\right)^m\right)^2}= \frac{2m2^{2m}}{e} \),
\( \frac{(2m)!}{(m!)^2}> \frac{e\left(\frac{2m}e\right)^{2m}}{\left(2me\left(\frac{m}e\right)^m\right)^2}= \frac{e2^{2m}}{4m^2} \).
Pro \(m\ge 2\) jsou oba odhady horší (dokonce o lineární faktor) než odhady snadno odvoditelné z binomické věty:
\( \frac{2^{2m}}{2m+1}< \binom{2m}m<2^{2m}\)