Řady s kombinačními čísly
Úloha číslo: 3413
Sečtěte:
Varianta
\( \sum\limits_{k=0}^n k\binom{n}{k} \)
Nápověda
Zkuste interpretovat přidaný multiplikativní faktor \(k\) tak, že ve vybrané \(k\)-tici označíte jeden z prvků.
Řešení
Výraz odpovídá počtu výběrů \(k\)-prvkové podmnožiny z \(n\) prvků, kde pak z vybrané podmnožiny ještě vybereme stranou jeden prvek.
Stejného výsledku můžeme dosáhnout tak, že nejprve vybereme zvláštní prvek a ten rozšíříme o \((k-1)\)-prvkovou podmnožinu.
Dostáváme tedy: \( \sum\limits_{k=0}^n k\binom{n}{k} =n \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k-1} =n2^{n-1} \)
Alternativní, formální výpočet:
\( \sum\limits_{k=0}^n k\binom{n}{k} =\sum\limits_{k=1}^n k\binom{n}{k} = \sum\limits_{k=1}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!} = n \sum\limits_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} = n 2^{n-1} \)Ještě jeden způsob dokázání pomocí derivace. Z binomické věty: \( \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k = (1+x)^n \) derivací podle \(x\) dostaneme: \( \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}k x^{k-1} = n(1+x)^{n-1} \). Pak už stačí dosadit \(x=1\).
Odpověď
Součet řady je \(n 2^{n-1}\).
Varianta
\( \sum\limits_{k=0}^n k^2\binom{n}{k} \)
Řešení
Výraz odpovídá počtu výběrů \(k\)-prvkové podmnožiny z \(n\) prvků, kde pak z vybrané podmnožiny ještě vybereme stranou dva zvláštní prvky (může jít o ten samý prvek).
Stejného výsledku můžeme dosáhnout tak, že nejprve vybereme zvláštní prvky a ty rozšíříme na \(k\)-prvkovou podmnožinu. Třeba rozlišit případ, kdy byl vybrán stejný prvek dvakrát.
Dostáváme tedy: \( \sum\limits_{k=0}^n k^2\binom{n}{k} =n \sum\limits_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k-1}+ n(n-1)\sum\limits_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k-2} =n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}=n(n+1)2^{n-2} \)
Odpověď
Součet řady je \(n(n+1)2^{n-2}\).
Varianta
\( \sum\limits_{k=0}^{2n} (-1)^k\binom{4n}{2k} \)
Nápověda
Zkuste do binomické věty dosadit komplexní jednotku \(i\).
Řešení
\( \sum\limits_{k=0}^{2n} (-1)^k\binom{4n}{2k}= \sum\limits_{k=0}^{2n} i^{2k}\binom{4n}{2k}= Re\left(\sum\limits_{k=0}^{4n} i^k\binom{4n}{k}\right)= Re\left((1+i)^{4n}\right)= (-4)^n \)
Odpověď
Součet řady je \((-4)^n\).
Varianta
\( \sum\limits_{k=0}^{2n-1} (-1)^k\binom{4n}{2k+1} \)
Nápověda
Využijte substituci \(-1=i^2\).
Poté řadu rozšiřte o komplexní členy tak, že reálná část zůstane nezměněna.
Řadu dále upravujte tak, aby na ní bylo použít binomickou větu.
Řešení
\( \sum\limits_{k=0}^{2n-1} (-1)^k\binom{4n}{2k+1}= \sum\limits_{k=0}^{2n-1} i^{2k}\binom{4n}{2k+1}= Re\left(\sum\limits_{l=0}^{4n-2} i^{l}\binom{4n}{l+1}\right)= \)
… přidáme člen \(i^{4n-1}\binom{4n}{4n}\) jehož reálná složka je nulová …
\( =Re\left(\sum\limits_{l=0}^{4n-1} i^{l}\binom{4n}{l+1}\right)= Im\left(i\sum\limits_{l=0}^{4n-1} i^{l}\binom{4n}{l+1}\right)= Im\left(\sum\limits_{l=0}^{4n-1} i^{l+1}\binom{4n}{l+1}\right)= Im\left(\sum\limits_{j=1}^{4n} i^{j}\binom{4n}{j}\right)= \)
… přidáme člen \(i^{0}\binom{4n}{0}\) jehož komplexní složka je nulová …
\( =Im\left(\sum\limits_{j=0}^{4n} i^{j}\binom{4n}{j}\right)= Im\left((1+i)^{4n}\right)= Im\left((-4)^n\right)=0 \)
Odpověď
Součet řady je 0.