Posloupností \(\frac1i\) pro \(i=1,…,n\) proložíme funkci \(\frac1x\).
Tato funkce je klesající.
Plocha pod touto funkcí (Riemannův integrál) na intervalu
\(\langle i, i+1\rangle\)
je zahrnuta v obdélníku
\(\langle i, i+1\rangle \times\langle 0, f(i)\rangle\), o ploše
\(\frac{1}{i}\).
Pro dolní odhad tedy odhadneme součet řady neboli plochu \(n\) navazujících obdélníků Riemannovým integrálem funkce \(\frac{1}{x}\) na intervalu \(\langle 1, n+1\rangle\):
\(H_n \ge \int_1^{n+1} \frac1x dx=\left[\ln x \right]_1^{n+1} = \ln (n+1)> \ln n\)
Podobně plocha pod touto funkcí na intervalu
\(\langle i-1, i\rangle\)
v sobě obsahuje v obdélník
\(\langle i-1, i\rangle \times\langle 0, f(i)\rangle\), o ploše
\(\frac{1}{i}\).
Pro horní odhad dáme stranou první člen a odhadneme součet zbytku řady neboli plochu \(n-1\) navazujících obdélníků určitým integrálem funkce \(\frac{1}{x}\) na intervalu \(\langle 1, n\rangle\):
\(H_n \le 1 + \int_1^{n} \frac1x dx= 1+\left[\ln x \right]_1^{n}= 1+ \ln n\)
Všimněte si, že tento odhad je v souladu s odhadem z předchozí varianty, neboť:
\(\frac{1}{2}\log_2 n=\log_4 n \le \ln n \le \log_2 n\).