Hody kostkou a podmíněná pravděpodobnost
Úloha číslo: 3508
Vašek třikrát hodil spravedlivou šestistěnnou kostkou. Padl mu součet hodů rovný \(7\).
Varianta
Je pravděpodobnější, že mu v prvním hodu padla jednička nebo dvojka?
Nápověda
Převeďte na úlohu o hodu dvou kostek.
Řešení
Hodil-li Vašek nejprve jedničku, zbývá hodit dvěma kostkami šest ok.
Při dvojce, zbývá hodit dvěma kostkami pět ok.
Na dvou kostkách padá nejčastěji sedm ok, menší počty jsou čím dál méně pravděpodobnější.
Odpověď
Pravděpodobnější je, že v prvním hodu padla jednička.
Varianta
Jaká je pravděpodobnost, že mu v prvním hodu padla dvojka?
Řešení
Všech možností, jak dosáhnout součet 7 s pomocí tří kladných celočíselných sčítanců je \(\binom{6}{2}\) – rozdělujeme 7 kuliček do tří přihrádek, tak, aby žádná nebyla prázdná, což je stejné jako do každé dát jednu a zbylé čtyři rozdělit libovolně.
(Všimněte si, že úloha je zadána tak, že v žádném případě nenastane, aby v přihrádce bylo víc než šest kuliček. Při zobecňování tohoto postupu pro větší součty by bylo třeba využít např. vytvořující funkce.)
Padne-li poprvé dvojka, jde o \(\binom{4}{1}\) případů.
Hledanou pravděpodobnost určíme podílem obou počtů.
Komentář
Všimněte si, že narozdíl od předchozí varianty pravděpodobnost není stejná jako pravděpodobnost hodu pěti ok dvěma kostkami – ta je \(\frac{4}{36}\).
Ta by odpovídala pravděpodobnosti hození sedmi ok za předpokladu, že nejprve padla dvojka, nikoli pravděpodobnosti první dvojky za předpokladu, že dohromady padne sedm ok.
Řešení předchozí varianty je ovšem korektní, protože \(P(\text{1. je dvojka}|\text{součet je 7}) =\frac{P(\text{1. je dvojka a součet je 7})}{P(\text{součet je 7})} =\frac{P(\text{1. je dvojka})P(\text{součet zbylých je 5})}{P(\text{součet je 7})}=\)
\( =\frac{\frac16P(\text{součet zbylých je 5})}{\frac{15}{216}} =\frac{36}{15}P(\text{součet zbylých je 5})\).
To, že v obou případech se pravděpodobností liší o multiplikativní faktor \(\frac{36}{15}\), plyne z toho, že hození jedničky i dvojky v prvním hodu je stejně pravděpodobné.