Součet binomických čísel

Úloha číslo: 3292

Aniž byste využili význam nebo vzorec pro kombinační číslo, tak pouze pomocí fakt

\(\displaystyle\binom{0}{0}=1\), \(\displaystyle\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\) a \(\displaystyle\binom{n}{k}=0\) když \(k<0\) nebo \(k>n\)

dokažte že:

\( \displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n \)

  • Řešení

    Pro \(n=0\):
    \(\displaystyle\sum_{k=0}^0\binom{0}{k}=\binom{0}{0}= 1 = 2^0\).

    Indukční krok \(n \to n+1\):
    \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}= \sum_{k=-1}^{n}\binom{n+1}{k+1}= \sum_{k=-1}^{n}\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}\right]= \sum_{k=-1}^{n}\binom{n}{k}+ \sum_{k=-1}^{n}\binom{n}{k+1} =\\ \displaystyle=\binom{n}{-1}+ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}+ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}+ \binom{n}{n+1} =0+2^n+2^n+0 =2^{n+1}\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze