Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Obtížnost
Štítky
Typ úlohy
«
«
Bijekce
Úloha číslo: 3362
Nechť f:X→Y a g:Y→X jsou funkce takové, že pro každé x∈X platí (g∘f)(x)=x a pro každé y∈Y platí, že (f∘g)(y)=y. Dokažte, že f i g jsou bijekce (tedy prosté a na).
Nápověda
Zkuste ukázat, že je-li g∘f prostá, potom i f je prostá, a také, je-li f∘g na, potom je f na.
Řešení
Sporem, není-li f prostá, existují x a y, f(x)=f(y), ale potom (g∘f)(x)=(g∘f)(y) a tudíž nemůže zároveň nabývat hodnot x a y.
Podobně, není-li f na, existuje y∈Y, které není obrazem žádného prvku z X, ale pak i (f∘g)(y)≠y.
Tedy f je bijekce.
Vlastnosti g lze dokázat stejnými argumenty záměnou X a Y a pořadí f a g.
Poznámka: Splňují-li funkce f a g podmínky ze zadání, potom se jedná o navzájem inverzní funkce.