Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Obtížnost

Štítky

Typ úlohy
«
«
«

Bijekce

Úloha číslo: 3362

Nechť f:XY a g:YX jsou funkce takové, že pro každé xX platí (gf)(x)=x a pro každé yY platí, že (fg)(y)=y. Dokažte, že f i g jsou bijekce (tedy prosté a na).

  • Nápověda

    Zkuste ukázat, že je-li gf prostá, potom i f je prostá, a také, je-li fg na, potom je f na.

  • Řešení

    Sporem, není-li f prostá, existují x a y, f(x)=f(y), ale potom (gf)(x)=(gf)(y) a tudíž nemůže zároveň nabývat hodnot x a y.

    Podobně, není-li f na, existuje yY, které není obrazem žádného prvku z X, ale pak i (fg)(y)y.

    Tedy f je bijekce.

    Vlastnosti g lze dokázat stejnými argumenty záměnou X a Y a pořadí f a g.

    Poznámka: Splňují-li funkce f a g podmínky ze zadání, potom se jedná o navzájem inverzní funkce.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze