Bijekce
Úloha číslo: 3362
Nechť \(f\colon X \to Y\) a \(g\colon Y \to X\) jsou funkce takové, že pro každé \(x \in X\) platí \((g \circ f)(x) = x\) a pro každé \(y \in Y\) platí, že \((f \circ g)(y) = y\). Dokažte, že \(f\) i \(g\) jsou bijekce (tedy prosté a na).
Nápověda
Zkuste ukázat, že je-li \(g \circ f\) prostá, potom i \(f\) je prostá, a také, je-li \(f \circ g\) na, potom je \(f\) na.
Řešení
Sporem, není-li \(f\) prostá, existují \(x\) a \(y\), \(f(x)=f(y)\), ale potom \((g\circ f)(x)=(g\circ f)(y)\) a tudíž nemůže zároveň nabývat hodnot \(x\) a \(y\).
Podobně, není-li \(f\) na, existuje \(y\in Y\), které není obrazem žádného prvku z \(X\), ale pak i \((f \circ g)(y)\ne y\).
Tedy \(f\) je bijekce.
Vlastnosti \(g\) lze dokázat stejnými argumenty záměnou \(X\) a \(Y\) a pořadí \(f\) a \(g\).
Poznámka: Splňují-li funkce \(f\) a \(g\) podmínky ze zadání, potom se jedná o navzájem inverzní funkce.
