Košík ovoce
Úloha číslo: 3691
Kolika způsoby lze naplnit košík \(n\) ovocnými plody za následujících (poněkud neobvyklých) podmínek?
- Počet jablek musí být sudý,
- počet banánů je dělitelný pěti,
- v košíku jsou nejvýše čtyři pomeranče
- a jedna nebo žádná hruška.
Řešení
Vytvořující funkce pro počety jednotlivých druhů ovocí (j,b,p,h) jsou
\(g_j(x)=x^0+x^2+x^4+… =\frac1{1-x^2}\),
\(g_b(x)=x^0+x^5+x^{10}+… =\frac1{1-x^5}\),
\(g_p(x)=x^0+x^1+x^2+x^3+x^4=\frac{1-x^5}{1-x}\) a
\(g_h(x)=x^0+x^1=1+x\).
Součin těchto funkcí dává výslednou vytvořující funkci
\(g(x)=g_j(x)g_b(x)g_p(x)g_h(x)= \frac1{1-x^2}\cdot\frac1{1-x^5}\cdot\frac{1-x^5}{1-x}(1+x)= \frac1{(1-x)^2}=1x^0+2x^1+3x^2+4x^3+5x^4+…\).
Odpověď
Košík s \(n\) plody lze sestavit \(n+1\) způsoby.