Symetrická diference
Úloha číslo: 3335
Zjistěte, které z následujících vztahů pro symetrickou diferenci \(\oplus\) definovanou \(A\oplus B= (A\cup B)\setminus (A\cap B)\) platí, a které neplatí.
- \(A\oplus B= (A\cap \overline B)\cup (\overline A\cap B)\)
- \(A\oplus B= B\oplus A\)
- \(A\oplus (B \oplus C)= (A \oplus B) \oplus C\)
- \(A\oplus(B \oplus A)= A\)
- \(A\oplus A= \emptyset\)
- \(A\oplus \emptyset= A\)
Pokud neplatí, opravte ji pokud možno co nejmenším zásahem.
Řešení
Pro první, třetí a čtvrtou možnost je vhodné si zakreslit Vennův diagram a v něm vyznačit množiny odpovídající pravé a levé straně výrazů.
Některé vztahy lze dokázat i formálně, např. pomocí úprav množinových výrazů, např.
\(A\oplus B= (A\cup B)\setminus (A\cap B) = (B\cup A)\setminus (B\cap A) = B\oplus A\). Zde jsme využili, že \(\cap\) i \(\cup\) jsou komutativní.
\(A\oplus A= (A\cup A)\setminus (A\cap A) = A \setminus A = \emptyset\)
\(A\oplus \emptyset= (A\cup \emptyset)\setminus (A\cap \emptyset) = A \setminus \emptyset = A\)
Neplatnost čtvrté rovnosti lze také formálně odhalit pomocí druhé, třetí a páté:
\(A\oplus(B \oplus A)= A\oplus(A \oplus B)= (A\oplus A) \oplus B =\emptyset \oplus B = B \oplus \emptyset= B\)Odpověď
Neplatí \(A\oplus(B \oplus A)= A\), správně je např. \(A\oplus(B \oplus A)= B\).