Porovnání binomických koeficientů

Úloha číslo: 3675

Porovnejte a uspořádejte následující kombinační čísla:

\(\binom{80}{20}, \binom{90}{10}, \binom{90}{70}, \binom{90}{30}, \binom{80}{70}, \binom{80}{60}.\)

  • Řešení

    Z 80. řádku Pascalova trojúhelníku máme: \(\binom{80}{10}=\binom{80}{70}<\binom{80}{20}=\binom{80}{60}\)

    a podobně z 90. řádku: \(\binom{90}{10}<\binom{90}{20}=\binom{90}{70}<\binom{90}{30}\)

    Také \(\binom{80}{10}\) je šikmo nad \(\binom{90}{10}\), tedy \(\binom{80}{10}<\binom{90}{10}\) a podobně \(\binom{80}{20}<\binom{90}{20}\) – lze dokázat i roznásobením.

    Zbývá porovnat \(\binom{80}{20}\) a \(\binom{90}{10}\). Nejprve si rozepíšeme \(\binom{80}{20}=\frac{80{\cdot}79\cdots61}{20{\cdot}19\cdots11{\cdot} 10!}\) a \(\binom{90}{10}=\frac{90{\cdot}79\cdots81}{10!}\). Protože pro všechna \(i=1,…,10\) plati \(\frac{(70+i)(60+i)}{10+i}>80+i\), dostáváme \(\binom{80}{20}>\binom{90}{10}\).

  • Odpověď

    Hledané uspořádání je: \({80 \choose 70} < {90 \choose 10} < {80 \choose 20} = {80 \choose 60} < {90 \choose 70} < {90 \choose 30}\).

Obtížnost: Středně těžká úloha
Úloha na trénování výpočtu
En translation
	Zaslat komentář k úloze