Prostor se symetrickou diferencí

Úloha číslo: 3651

Nechť \(X\) je konečná množina a \(\mathcal A \subseteq 2^X\) je množina některých jejích podmnožin uzavřená na symetrickou diferenci. Tedy, pokud \(Y\) a \(Z\) patří do \(\mathcal A\), potom i \(Y \Delta Z\) patří do \(\mathcal A\).

  • Varianta

    Dokažte, že \(\mathcal A\) společně s operací symetrické diference tvoří vektorový prostor nad \(\mathbb Z_2\).

  • Řešení

    Pracnější, zato přímočará cesta je ověřit všech osm axiomů vektorového prostoru.

    Trochu práce si lze ušetřit, když si uvědomíme, že \((\mathcal A, \Delta)\) tvoří grupu. Neutrální prvek je prázdná množina \(\emptyset\), a každá množina je opačná sama sobě, neboli \(-Y=Y\).

    Potom lze využít faktu, že libovolnou grupu lze vnímat jako vektorový prostor nad \(\mathbb Z_2\), protože náobení 1 prvek nezmění, zatímco násobení 0 dá vždy neutrální prvek grupy.

  • Varianta

    V závislosti na velikosti \(\mathcal A\) určete dimenzi tohoto prostoru. Jakých hodnot tedy může \(|\mathcal A|\) nabývat?

  • Řešení

    Velikost konečného vektorového prostoru je velikost příslušného tělesa umocněná na dimenzi, v našem případě mocniny dvou. Odtud \(\dim(\mathcal A)=\log_2(|\mathcal A|)\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze