Dimenze
Úloha číslo: 3802
Pro lineární kód \(C\) délky \(n\) nad tělesem \(\mathbb Z_q\) dokažte: \(\dim C + \dim C^{\bot} = n\).
Řešení
Sestavíme-li z báze kódu \(C\) matici \(\mathbf A\), platí \(\dim(C)={\rm rank}(\mathbf A)\).
Vektory duálního kódu \(C^{\bot}\) tvoří jádro matice \(\mathbf A\), to plyne přímo z definic obou pojmů.
Nyní stačí využít vztah: \({\rm rank}(\mathbf A) + \dim(\ker(\mathbf A))=n\).