Potravní řetězce
Úloha číslo: 4509
V ZOO chovají živočichy řady zajímavých anebo ohrožených druhů. Některé nelze umístit ve společném výběhu, protože by jeden sežral druhého. Třeba plcha zahradního nelze dát do výběhu společně s rysem ostrovidem, protože by rys plchy vyhubil. Ježek západní by se těmto dvěma savčím predátorům ubránil svými ostny, ale je příliš pomalý (a vůči rysovi i malý), aby je ohrozil. Výr velký loví nejen plchy, ale i ježky. Na rysa si výr netroufne, avšak snadno mu uletí. Ježci, plši a výři by brzy eliminovali většinu hrobaříků obecných, kteří se živí mršinami obratlovců všech druhů, ovšem pro rysa jsou příliš malí. Z těchto pěti druhů jsou hrobaříci jediní, kteří se běžně živí zdechlinami. Ze zmíněných se jen sovy a hlodavci dopouštějí kanibalismu.
Mějme relaci \(a\check{Z}b\) s významem "živočiši druhu \(a\) se zpravidla živí masem druhu \(b\)".
Tuto relaci zapište výčtem prvků i tabulkou, a také znázorněte ji grafem.
Rozhodněte, zdali je reflexivní, symetrická, antisymetrická, případně tranzitivní.
Jaký význam mají a jak vypadají relace \(\check{Z}^{-1}\) a \(\check{Z}\circ\check{Z}\)?
Řešení
Označme nosnou množinu iniciálami \(X=\{p,r,j,v,h\}\).
Z textu pak můžeme vypsat následující dvojice: \(\check{Z}=\{ (r,p),(v,p),(v,j),(j,h),(p,h),(v,h),(h,p),(h,r),(h,j),(h,v),(p,p),(v,v) \}\)
Případně tabulkou, kde \(\times\) označuje dvojici z relace \(\check{Z}\): \[\begin{array}{cccccc} a\backslash b & p & r & j & v & h \\ p & \times &&&& \times \\ r & \times &&&& \\ j & &&&& \times \\ v & \times && \times & \times &\times \\ h & \times & \times &\times & \times &\\ \end{array} \]
Relace \(\check{Z}\) není reflexivní, protože např. \((r,r)\notin\check{Z}\).
Není ani symetrická, protože např. \((r,p)\in\check{Z}\), ale \((p,r)\notin\check{Z}\).
Není ani antisymetrická, protože např. \((v,h)\in\check{Z}\) a \((h,v)\in\check{Z}\).
Není ani tranzitivní, protože např. \((p,h)\in\check{Z}\) a \((h,r)\in\check{Z}\), ale \((p,r)\notin\check{Z}\).
Relace \(\check{Z}^{-1}\) má význam "být potravou". Odpovídá obrácením prvků ve dvojicích, a také obrácením šipek v grafu, čili \(\check{Z}^{-1}=\{ (p,r),(p,v),(j,v),(h,j),(h,p),(h,v),(p,h),(r,h),(j,h),(v,h),(p,p),(v,v) \}\)
Podobně \(a(\check{Z}\circ\check{Z})b\), má význam "\(a\) se živí tvorem, co se živí \(b\)". a odpovídá dvojicím po sobě jdoucích šipek, čili: \(\check{Z}\circ\check{Z}=\{ (p,p),(p,h),(p,r),(p,j),(p,v), (r,p),(r,h), (j,p),(j,r),(j,j),(j,v), \) \( (v,p),(v,h),(v,r),(v,j),(v,v), (h,p),(h,j),(h,v),(h,h) \} \)
Relaci \(\check{Z}\circ\check{Z}\) je snazší popsat výčtem prvků jejího doplňku: \(\{(r,r),(r,v),(r,j),(j,h),(h,r)\}\).
