Samoduální kód
Úloha číslo: 3805
Najděte příklad samoduálního kódu nad \(\mathbb Z_2\) (t.j. \(C=C^{\bot}\)) délky alespoň \(2\).
Řešení
Aby každé slovo bylo duální samo k sobě, musí mít sudý počet jedniček.
Nyní stačí, aby se jedničky z libovolných dvou slov z kódu shodovaly v sudém počtu pozic.
Vhodnými kódy proto jsou např. opakovací kód délky \(2\), nebo obecněji kódy, které vzniknou z (úplného) kódu \(Z_2^n\) nad \(\mathbb Z_2\) zdvojením všech symbolů.
Všimněte si, že kdybychom zdvojovali symboly v kódu \(C\), který by nebyl úplný, platilo by \(\dim(C)<n\), ale protože \(\dim(C)+\dim(C^\bot)=2n\), měl by \(C^\bot\) větší dimenzi než \(C\), a tudíž by se s \(C\) nemohl shodovat.