Výběry kuliček
Úloha číslo: 3501
V sáčku je 10 skleněnek a 20 hliněnek. Náhodně vybereme 7 kuliček. Jaká je pravděpodobnost, že budou vybrány právě tři skleněnky, pokud:
Varianta
Kuličky do sáčku nevracíme.
Nápověda
Pro správný návrh pravděpodobnostního prostoru bude vhodné předpokládat, že kuličky lze rozlišit ještě nějakým dalším způsobem, např. barvou.
Řešení
Množinu elementárních tvoří všechny možné výběry sedmi kuliček ze třiceti. Odtud \(|\Omega|=\binom{30}{7}\). Uvažujeme rovnoměrné rozdělení pravděpodbnosti.
Jev odpovídá těm výběrům, kdy nejprve z desetiprvkové množiny skleněnek vybereme tři a pak je doplníme výběrem čtyř hliněnek z dvaceti.
\(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{\binom{10}{3}\binom{20}{4}}{\binom{30}{7}}=\frac{120\,\cdot\, 4\,845}{20\,350\,800}\doteq 29\%\)
Odpověď
Pravděpodobnost výběru je \(P(A)=\frac{\binom{10}{3}\binom{20}{4}}{\binom{30}{7}}\doteq 29\%\).
Varianta
Vybíráme kuličky po jedné a pokaždé ji do sáčku hned vrátíme.
Řešení
Pravděpodobnostní prostor je nyní tvořen všemi zobrazeními ze sedmiprvkové množiny pokusů do třicetiprvkové množiny kuliček, neboli \(|\Omega|=30^7\).
Kýžený jev tvoří ta zobrazení, v jejichž oboru hodnot je třikrát skleněnka čtyřikrát hliněnka. Takových je \(|B|=\binom{7}{3} 10^3 {\cdot} 20^4\). První faktor odpovídá volbě tahů, kdy vybereme skleněnku, druhý volbě konkrétních skleněnek a třetí volbě hliněnek.
\(P(B)=\frac{\binom{7}{3}\cdot 10^3{\cdot} 20^4}{30^7}=\frac{560}{2\,187}\doteq 26\%\)
Alternativně lze argumentovat následovně:
Pravděpodobnost vybrání jedné skleněnky je \(\frac{10}{30}\). Výběr třech skleněnek má pravděpodobnost \(\left(\frac{1}{3}\right)^3\). Abychom vybrali právě tři skleněnky, musíme také čtyřikrát vybrat hliněnku, každý takový výběr má pravděpodobnost \(\frac{2}{3}\). Je celkem \(\binom{7}{3}\) možností, určujících ve kterých třech ze sedmi možných tahů má být vybrána skleněnka. Jednotlivé tahy jsou nezávislé. Odtud:
\(P(B)=\binom{7}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^4\).
Odpověď
Pravděpodobnost výběru je \(P(B)=\binom{7}{3}\frac{2^4}{3^7}=\frac{560}{2\,187}\doteq 26\%\).
