Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Obtížnost

Štítky

Typ úlohy
«
«
«

Axiomatizace jen podle mohutností

Úloha číslo: 3722

Nechť (X,P) je množinový systém a pro nN, n2, platí:

|X|=|P|=n2+n+1,

PP:|P|=n+1 a

xX:|{PP:xP}|=n+1.

Je pak (X,P) konečná projektivní rovina?

  • Řešení

    Ne, existují protipříklady množinových systémů, které splují uvedené podmínky, ale nejsou to projektivní roviny.

    Např. obecně pro a=n+1 a b=n2+n+1, lze zvolit body X={x0,x1,,xb1} a "přímky" Pi={xi,xi+1,,x(i+a1)modb} pro i=0,1,,b1. Touto konstrukcí dostaneme systém s b body i s b "přímkami".

    Každá z "přímek" má mohutnost a a každý bod je v a "přímkách". Ovšem dvojice bodů xi,xi+1 je v a1 společných "přímkách", a proto nejde o projektivní rovinu.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze