Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Obtížnost
Štítky
Typ úlohy
«
«
Axiomatizace jen podle mohutností
Úloha číslo: 3722
Nechť (X,P) je množinový systém a pro n∈N, n≥2, platí:
– |X|=|P|=n2+n+1,
– ∀P∈P:|P|=n+1 a
– ∀x∈X:|{P∈P:x∈P}|=n+1.
Je pak (X,P) konečná projektivní rovina?
Řešení
Ne, existují protipříklady množinových systémů, které splují uvedené podmínky, ale nejsou to projektivní roviny.
Např. obecně pro a=n+1 a b=n2+n+1, lze zvolit body X={x0,x1,…,xb−1} a "přímky" Pi={xi,xi+1,…,x(i+a−1)modb} pro i=0,1,…,b−1. Touto konstrukcí dostaneme systém s b body i s b "přímkami".
Každá z "přímek" má mohutnost a a každý bod je v a "přímkách". Ovšem dvojice bodů xi,xi+1 je v a−1 společných "přímkách", a proto nejde o projektivní rovinu.