Axiomatizace jen podle mohutností
Úloha číslo: 3722
Nechť \((X,\mathcal P)\) je množinový systém a pro \(n \in \mathbb N\), \(n \geq 2\), platí:
– \(|X|=|\mathcal P|=n^2+n+1\),
– \(\forall P \in \mathcal P: |P|=n+1\) a
– \(\forall x\in X: |\{P \in \mathcal P: x \in P\}|=n+1\).
Je pak \((X,\mathcal P)\) konečná projektivní rovina?
Řešení
Ne, existují protipříklady množinových systémů, které splují uvedené podmínky, ale nejsou to projektivní roviny.
Např. obecně pro \(a=n+1\) a \(b=n^2+n+1\), lze zvolit body \(X=\{x_0, x_1, \ldots, x_{b-1}\}\) a "přímky" \(P_i=\{x_i, x_{i+1}, \ldots, x_{(i+a-1)\bmod b}\}\) pro \(i=0{,}1, \ldots, b-1\). Touto konstrukcí dostaneme systém s \(b\) body i s \(b\) "přímkami".
Každá z "přímek" má mohutnost \(a\) a každý bod je v \(a\) "přímkách". Ovšem dvojice bodů \(x_i, x_{i+1}\) je v \(a-1\) společných "přímkách", a proto nejde o projektivní rovinu.
