Úprava výrazu
Úloha číslo: 3692
Vyjádřete v co nejjednodušším tvaru \((1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^k})\).
Řešení
Vyzkoušíme pro malé hodnoty \(k\):
- \((1+x)(1+x^2)=1+x+x^2+x^3\)
- \((1+x)(1+x^2)(1+x^4)=(1+x+x^2+x^3)(1+x^4)=1+x+x^2+…+x^7\).
Odtud indukcí ukážeme, že \((1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^k})=1+x+x^2+…+x^{2^{k+1}-1}\).
\((1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^k})= (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^{k-1}})(1+x^{2^k})=\\ (1+x+x^2+…+x^{2^k-1})(1+x^{2^k})= (1+x+x^2+…+x^{2^k-1})+x^{2^k}(1+x+x^2+…+x^{2^k-1})=\\ 1+x+x^2+…+x^{2^{k+1}-1}\)
Na výsledný součet použijeme vzorec pro součet konečné geometrické řady.
Odpověď
Výraz lze upravit na \(\frac{1-x^{2^{k+1}}}{1-x}\).