Úprava výrazu

Úloha číslo: 3692

Vyjádřete v co nejjednodušším tvaru \((1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^k})\).

  • Řešení

    Vyzkoušíme pro malé hodnoty \(k\):

    • \((1+x)(1+x^2)=1+x+x^2+x^3\)
    • \((1+x)(1+x^2)(1+x^4)=(1+x+x^2+x^3)(1+x^4)=1+x+x^2+…+x^7\).

    Odtud indukcí ukážeme, že \((1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^k})=1+x+x^2+…+x^{2^{k+1}-1}\).

    \((1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^k})= (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\ldots(1+x^{2^{k-1}})(1+x^{2^k})=\\ (1+x+x^2+…+x^{2^k-1})(1+x^{2^k})= (1+x+x^2+…+x^{2^k-1})+x^{2^k}(1+x+x^2+…+x^{2^k-1})=\\ 1+x+x^2+…+x^{2^{k+1}-1}\)

    Na výsledný součet použijeme vzorec pro součet konečné geometrické řady.

  • Odpověď

    Výraz lze upravit na \(\frac{1-x^{2^{k+1}}}{1-x}\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na trénování výpočtu
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
En translation
	Zaslat komentář k úloze