Limity
Úloha číslo: 3175
Spočtěte následující limity, popř. zdůvodněte, že neexistují.
Varianta 1
\( \lim\limits_{(x,y) \to (0{,}2)} \frac{\sin xy}{x}. \)
Řešení
Ač se na první pohled zdá, že by hodnota limity mohla vycházet \(2\), ve skutečnosti limita neexistuje, protože funkce není definovaná na žádném prstencovém okolí bodu \((0, 2)\). (Konkrétně funkce není definovaná, pokud \(x = 0\) a \(y\) blízko hodnotě \(2\).)
Výsledek
Limita neexistuje.
Varianta 2
\( \lim\limits_{(x,y) \to (0{,}0)} \frac{\sin (x^2 + y^2)}{x^2 +y^2}. \)
Řešení
Prvně si uvědomíme, že funkce je definovaná ve všech bodech, kromě bodu \((0, 0)\), protože \(x^2 + y^2 = 0\) pouze pro \((x, y) = (0, 0)\). Speciálně je tedy funkce definovaná na nějakém prstencovém okolí bodu \((0, 0)\), což je nutná podmínka k tomu, aby limita mohla existovat.
Budeme chtít použít větu o limitě složené funkce (pro více proměnných).
Zadefinujeme funkce \(f(x, y) = x^2 + y^2\) a \(g(t) = \frac{\sin t}{t}\). Počítáme tedy limitu \[ \lim\limits_{(x,y) \to (0, 0)} g(f(x, y)). \] Víme, že \[ \lim\limits_{(x,y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0, \] neboť \(f\) je spojitá, a také \[ \lim\limits_{t \to 0} g(t) = 1 \] (jedná se o známou limitu v jedné proměnné).
Věta o limitě složené funkce ve více proměnných má analogické předpoklady jako v jedné proměnné. Potřebujeme buď aby vnější funkce byla spojitá (což není), nebo aby vnitřní funkce nenabývala limitní hodnoty, tj. \(0\), na nějakém prstencovám okolí bodu, v němž limitu počítáme, tj. bodu \((0, 0)\). Druhá podmínka ale splněna je, jak už jsme si uvědomili na začátku. Podle věty o limitě složené funkce tedy platí:
\[ \lim\limits_{(x,y) \to (0{,}0)} \frac{\sin (x^2 + y^2)}{x^2 +y^2} = 1. \]
Výsledek
1
Varianta 3
\( \lim\limits_{(x,y) \to (0{,}0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 +y^2}. \)
Řešení
Limita neexistuje. Označme \(f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\). Pokud se k bodu \((0, 0)\) blížíme pomocí posloupnosti \((1/n, 0)\) dostáváme \[ \lim\limits_{n \to \infty} f(1/n, 0) = 1. \] Pokud se však k bodu \((0, 0)\) blížíme pomocí posloupnosti \((1/n, 1/n)\) dostáváme \[ \lim\limits_{n \to \infty} f(1/n, 1/n) = 0. \] Limita tedy nemůže existovat.
Výsledek
Limita neexistuje.
Varianta 4
\( \lim\limits_{(x,y) \to (0{,}0)} \frac{\ln (1+xy)}{|x| + |y|}. \)
Řešení
Víme, že platí \[\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.\] To nás navádí k postupu si výraz v zadání rozložit jako součin \[ \frac{\ln(1+xy)}{xy}\cdot \frac{xy}{|x| + |y|} \] a snažit se spočítat \[\lim_{(x,y)\to (0{,}0)}\frac{\ln(1+xy)}{xy}\] a \[ \lim_{(x,y)\to (0{,}0)}\frac{xy}{|x|+|y|}. \] Co se první limity týče, podle vzorečku z úvodu se zdá, že by tato limita mohla vycházet rovna \(1\). Ve skutečnosti tato limita neexistuje, což se zdůvodní podobně jako v sekci Varianta 1, protože příslušná funkce není definovaná na prstencovém okolí bodu \((0, 0)\). Tím se teď ale nenecháme znepokojovat a budeme předstírat, že první limita vychází rovna \(1\). Později ukážeme, jak je potřeba postup opravit, abychom se korektně dobrali ke správnému výsledku.
Spočítáme tedy druhou limitu. Ta existuje a spočítat se dá (s drobným trikem). Uvědomíme si odhad \[ 0\le \frac{|xy|}{|x|+|y|}= |x|\frac{|y|}{|x|+|y|}\le |x|. \] Odtud podle analogie "lemma o policajtech" (neboli "lemma o limitě sevřené funkce") plyne, že \[ \lim_{(x,y)\to(0{,}0)} \frac{|xy|}{|x|+|y|} = 0. \]
Odtud bychom odhadovali, že limita ze zadání bude vycházet \(1 \, \cdot \, 0 = 0\), ale ke korektnímu postupu ještě musíme ošetřit problém s neexistencí \[\lim_{(x,y)\to (0{,}0)}\frac{\ln(1+xy)}{xy}.\]
Na okolí bodu \((0, 0)\) rozlišíme dva případy:
Pokud \(xy = 0\), potom \(\ln(1 +xy) = 0\) a funkce v zadání je identicky nulová.
Pokud \(xy \neq 0\), potom je funkce \(\ln(1 + xy)/xy\) definovaná. Vzhledem k tomu, že \[\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}t = 1,\] dostáváme, že existuje \(\delta > 0\) takové, že \[|\ln(1+t)/t| \leq 2\] pro každé \(t \neq 0\) ležící na \(\delta\)-okolí bodu \(0\). (Takové \(\delta\) získáme tak, že si v definici limity zvolíme \(\varepsilon = 1\).)
Když tyto dva případy opět sloučíme dohromady, dostáváme \[ \frac{|\ln(1 +xy)|}{|x|+|y|} \leq \frac{2|xy|}{|x|+ |y|}, \] pokud \(|xy| < \delta\). Odtud už můžeme bezpečně tvrdit, že limita ze zadání vychází \(0\).
Výsledek
\(0\)
