Víme, že platí
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
To nás navádí k postupu si výraz v zadání rozložit jako součin
\frac{\ln(1+xy)}{xy}\cdot \frac{xy}{|x| + |y|}
a snažit se spočítat
\lim_{(x,y)\to (0{,}0)}\frac{\ln(1+xy)}{xy}
a
\lim_{(x,y)\to (0{,}0)}\frac{xy}{|x|+|y|}.
Co se první limity týče, podle vzorečku z úvodu se zdá, že by tato limita mohla vycházet rovna 1. Ve skutečnosti tato limita neexistuje, což se zdůvodní podobně jako v sekci Varianta 1, protože příslušná funkce není definovaná na prstencovém okolí bodu (0, 0). Tím se teď ale nenecháme znepokojovat a budeme předstírat, že první limita vychází rovna 1. Později ukážeme, jak je potřeba postup opravit, abychom se korektně dobrali ke správnému výsledku.
Spočítáme tedy druhou limitu. Ta existuje a spočítat se dá (s drobným trikem).
Uvědomíme si odhad
0\le \frac{|xy|}{|x|+|y|}= |x|\frac{|y|}{|x|+|y|}\le |x|.
Odtud podle analogie "lemma o policajtech" (neboli "lemma o limitě sevřené funkce") plyne, že
\lim_{(x,y)\to(0{,}0)} \frac{|xy|}{|x|+|y|} = 0.
Odtud bychom odhadovali, že limita ze zadání bude vycházet 1 \, \cdot \, 0 = 0, ale ke korektnímu postupu ještě musíme ošetřit problém s neexistencí
\lim_{(x,y)\to (0{,}0)}\frac{\ln(1+xy)}{xy}.
Na okolí bodu (0, 0) rozlišíme dva případy:
Pokud xy = 0, potom \ln(1 +xy) = 0 a funkce v zadání je identicky nulová.
Pokud xy \neq 0, potom je funkce \ln(1 + xy)/xy definovaná. Vzhledem k tomu, že
\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}t = 1,
dostáváme, že existuje \delta > 0 takové, že
|\ln(1+t)/t| \leq 2
pro každé t \neq 0 ležící na \delta-okolí bodu 0. (Takové \delta získáme tak, že si v definici limity zvolíme \varepsilon = 1.)
Když tyto dva případy opět sloučíme dohromady, dostáváme
\frac{|\ln(1 +xy)|}{|x|+|y|} \leq \frac{2|xy|}{|x|+ |y|},
pokud |xy| < \delta.
Odtud už můžeme bezpečně tvrdit, že limita ze zadání vychází 0.