Sbírka matematických úloh

Limity k mírnému zamyšlení

Úloha číslo: 2964

• Varianta 1

  \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}. \)

• Výsledek

  Existuje, vychází \(\infty\).

• Varianta 2

  \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^3}. \)

• Výsledek

  Neexistuje. Je totiž \[ \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^3} = \infty \] a \[ \lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x^3} = -\infty. \]

• Varianta 3

  \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \hbox{tg} \left( \frac{\pi}2 + \frac{1}{x^2 + 4}\right). \)

• Řešení

  Označme si \(g(x) = \frac{\pi}2 + \frac{1}{x^2 + 4}\) a \(f(y) = \hbox{tg}(y)\). Chceme potom spočítat \(\lim_{x \to \infty} f(g(x))\). Snadno dopočítáme, že \[ \lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{\pi}2. \] Chtěli bychom použít větu o limitě složené funkce, jenže potíž je v tom, že \[ \lim_{y \to \frac{\pi}2} \hbox{tg}(y) \] neexistuje.

  Znamená to, že celá limita ze zadání neexistuje? Nikoliv, to zatím nevíme! Zjistili jsme jenom, že nemůžeme úplně přímočaře použít větu o limitě složené funkce.

  K dořešení příkladu si potřebujeme uvědomit, že \(g(x) > \frac{\pi}2\) pro \(x\) na nějakém okolí \(\infty\). (V tomto konkrétním případě tato nerovnost platí vždy.) Odtud plyne (po ověření podmínky na limitu složené funkce), že \[ \lim_{x \to \infty} f(g(x)) = \lim_{y \to \frac{\pi}2^+} f(y) = \lim_{y \to \frac{\pi}2^+} \hbox{tg}(y) = -\infty. \]

  Zbývá ověřit jednu z podmínek na limitu složené funkce. Konkrétně, že \(g(x)\) nenabývá hodnoty \(\frac{\pi}2\) na nějakém (prstencovém) okolí \(\infty\). Nicméně \(g(x)\) nenabývá hodnoty \(\frac{\pi}2\) nikdy.

• Varianta 4

  \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin \left(\frac 1x\right). \)

• Řešení

  Náznak řešení: Uvažujte posloupnosti \(x_k = \frac{1}{2k\pi}\) a \(y_k = \frac{1}{\pi/2 + 2k\pi}\). Máme \(\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} y_k = 0\). Ale \[ \lim_{x \to 0} \sin \left(\frac 1{x_k}\right) \] a \[ \lim_{x \to 0} \sin \left(\frac 1{y_k}\right) \] vycházejí jinak. (Zkuste si také nakreslit obrázek.)

• Výsledek

  Limita neexistuje.

• Varianta 5

  \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x \sin \left(\frac 1x\right). \)

• Nápověda

  Omezte danou funkci shora \(|x|\) a zdola \(-|x|\).

• Výsledek

  \(0\)

• Varianta 6

  \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(x \sin \left(\frac 1x\right)\right)}{x \sin \left(\frac 1x\right)}. \)

• Řešení

  Rádi bychom použili větu o složené funkce. Označme \(g(x) = x \sin \left(\frac 1x\right)\) a \(f(y) = \frac{\sin y}{y}\). Chceme tedy spočítat \(\lim_{x \rightarrow 0} f(g(x))\).

  Z předchozí varianty příkladu víme, že \(\lim_{x \to 0} g(x) = 0\) a také máme známou limitu \(\lim_{y \to 0} f(y) = 0\). Chtěli bychom tedy odvodit, že \(\lim_{x \rightarrow 0} f(g(x)) = 0\).

  K naší smůle, \(f\) není spojitá v bodě \(0\), a dokonce ani není splněna podmínka na existenci vhodného prstencového okolí \(0\), kde by \(g(x) \neq 0\). Věta o limitě složené funkce nám tedy nepomůže.

  Ve skutečnosti pro \(x = \frac{1}{2k\pi}\) není funkce definovaná, tudíž limita nemůže existovat.

• Výsledek

  Limita neexistuje.