Sbírka matematických úloh

Řady s parametry

Úloha číslo: 2912

• Varianta 1

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^n}\)

• Řešení

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+a^n}= \frac{1}{1+\lim\limits_{n\to\infty}a^n}= \begin{cases} \frac{1}{1+0}=1 & \text{ pro } a\in\langle0{,}1),\\ \frac{1}{1+1}=\frac12 & \text{ pro } a=1,\\ \frac{1}{1+\infty}=0 & \text{ pro } a>1. \end{cases} \)

  Řada tedy nemůže konvergovat pro \(a\le1\).

  Pro \(a>1\) platí odhad \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+a^n}\le \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{a}\right)^n \), což je omezení konvergentní geometrickou řadou.

• Výsledek

  Řada konverguje pro \(a>1\).

• Varianta 2

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{1+a^n}\)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{1+a^n}= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\left(\frac1a\right)^n}\)

  Dále již přímočaře převedeme na předchozí variantu.

• Výsledek

  Řada konverguje pro \(a\in(0{,}1)\).

• Varianta 3

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n!}\)

• Řešení

  Podílové kritérium:

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^n}{n!}}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{n+1}=0 \)

• Výsledek

  Řada konverguje pro všechna kladná (i záporná) \(a\).

• Varianta 4

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+na}{\sqrt{n^2+n^6a}} \)

• Řešení

  Pro \(n>a\) odhadneme:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+na}{\sqrt{n^2+n^6a}}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2na}{\sqrt{n^6a}}= 2\sqrt{a}\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2} \)

• Výsledek

  Řada konverguje pro všechna kladná \(a\) (dokonce i pro \(a\in(-1{,}0\rangle\)).

• Varianta 5

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^4a^n \)

• Řešení

  Pro \(a\ge 1\) platí \(n^4a^n\ge1\), řada tedy nemůže konvergovat.

  Pro \(a\in(0{,}1)\) oveříme podílové kritérium:

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^4a^{n+1}}{n^4a^n}= a\left(\lim_{n\to\infty} 1+\frac1n\right)^4=a<1\).

• Výsledek

  Řada konverguje pro \(a\in(0{,}1)\) (dokonce i pro \(a\in(-1{,}0\rangle\)).