Silnější ze dvou výroků

Úloha číslo: 2776

Který z následujících dvou výroků je silnější?
  • \(\forall x\ \exists K>0: |f(x+1)-f(x)|\le K\)
  • \(\exists K>0\ \forall x: |f(x+1)-f(x)|\le K\)
(Říkáme, že výrok A je silnější než B, pokud z platnosti B, můžeme usoudit, že platí A.)

  • Řešení

    U prvního výroku může volba záviset \(K\) na \(x\), ve druhém tato závislost není.

    Pokud by platil druhý výrok, známe hodnotu \(K\) a tuto můžeme použít pro libovolné \(x\) v prvním výroku.

    Obráceně tento postup nemusí platit, mohlo by se stát, že třeba pro různá \(x\) je třeba volit různé volby \(K\).

    Pro funkci \(f(x)=x^2\) platí první výrok volbou \(K=2x^2+2x+1\). Druhý ale neplatí, pro zvolené \(K\) stačí vzít \(x=\frac{K}2\).

  • Výsledek

    Druhý výrok je silnější.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
Zaslat komentář k úloze