Hledání(hádání) kořenů
Úloha číslo: 3062
Nechť \[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \] je polynom stupně \(n\) celými koeficienty (tj. všechna \(a_i\) jsou celá). Předpokládejme, že \(P(x)\) má racionální kořen \(c = \frac pq\), kde \(\frac pq\) je zlomek v základním tvaru. Dokažte, že \(a_0\) je dělitelné \(p\) a \(a_n\) je dělitelné \(q\).
Nápověda
Rozepište si rovnost \(P(p/q) = 0\).
Řešení
Rozepíšeme-li \(P(p/q) = 0\), dostáváme \[ a_n \frac{p^n}{q^n} + a_{n-1}\frac{p^{n-1}}{q^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac pq + a_0 = 0 \] neboli \[ a_n p^n + a_{n-1}p^{n-1}q + \cdots + a_1 pq^{n-1} + a_0q^n = 0. \] Všechny sčítance \(a_i p^i q^{n-i}\) jsou dělitelné \(p\) pro \(i \geq 1\). Tedy i poslední sčítanec \(a_0 q^n\) je dělitelný \(p\). Samotné \(q^n\) ale není s \(p\) soudělné, protože \(p/q\) je zlomek v základním tvaru. Tedy \(a_0\) je dělitelné \(p\). Podobně zdůvodníme, že \(a_n\) je dělitelné \(q\).
