Sbírka matematických úloh

Limity n-tých odmocnin

Úloha číslo: 2840

• Varianta 1

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n} \)

• Nápověda

  Prozkoumejte posloupnost \(\alpha_n\) danou předpisem \( \alpha_n=\root{n}\of{n}-1 \).

• Řešení

  Umocníme a za pomoci binomické věty odhadneme
  \(\displaystyle n=(1+\alpha_n)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\alpha_n^i\geq \binom{n}{2}\alpha_n^2=\frac{n(n-1)}{2}\alpha_n^2 \).

  Z odhadu plyne, že \( 0\leq \alpha_n\leq \frac{2}{n-1}, \) a posloupnost \(\alpha_n\) tedy konverguje k nule.

• Výsledek

  Limita je rovna \(1\).

• Varianta 2

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{n^2+2^n+3^n}. \)

• Řešení

  Připomeňme si, že pro \(n\geq 4\) platí \(n^2\leq 2^n\) a zřejmě \(2^n\leq 3^n\).

  Odhadneme: \(\displaystyle 3=\root{n}\of{3^n}\leq \root{n}\of{n^2+2^n+3^n}\leq \root{n}\of{3^n+3^n+3^n}= 3\root{n}\of{3} \).

  Závěrem použijeme vztah \(\lim\limits_{n\to\infty} \root{n}\of{3} =1\) lemma o sevřené posloupnosti.

• Výsledek

  Hledaná limita je \(3\).

• Varianta 3

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n} \), kde \(a,b,c>0\) jsou zadaná reálná čísla.

• Řešení

  Bez újmy na obecnosti nechť \(a \le b\le c\). Potom

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\ge \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c^n}=c. \)

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n+c^n}\le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3c^n} =c\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3}=c. \)

• Výsledek

  Limita je rovna největšímu z čísel \(a\), \(b\) a \(c\).

• Varianta 4

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!} \)

• Řešení

  Ukážeme, že pro každé \(q\) a \(n\ge q^2\) platí \(\sqrt[n]{n!}\ge q\).

  Totiž \(\displaystyle \sqrt[n]{n!}\ge q \Longleftrightarrow n!\ge q^n \Longleftrightarrow \frac{q^n}{n!} \le 1\).

  Analogický ohad jsme však už dokázali u \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{q^n}{n!} \).

• Výsledek

  Posloupnost má nevlastní limitu \(\infty\).