Sbírka matematických úloh

Různé limity

Úloha číslo: 2963

• Varianta 1

  $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x}$

• Řešení

  $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{2x} = \frac12\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = \frac12$$

• Výsledek

  $\frac 12$

• Varianta 2

  $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin (\sin x))}{\hbox{tg}(\hbox{tg}(x))}$

• Řešení

  $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin (\sin x))}{\hbox{tg}(\hbox{tg}(x))} =$$ $$= \lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin (\sin x))}{\sin(\sin x)} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin (\sin x)}{\sin x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\hbox{tg} \ x}{\hbox{tg}(\hbox{tg}(x))} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{x}{\hbox{tg} \ x} =$$ $$= 1 {\cdot} 1 \cdot 1 {\cdot} 1 \cdot 1 = 1.$$

  Využíváme přitom, že $$\lim_{x\to 0} \frac{\hbox{tg} \ x}{x} = 1,$$ což zdůvodníme snadnou úpravou $$\lim_{x\to 0} \frac{\hbox{tg} \ x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{(\cos x)x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 {\cdot} 1.$$ Odtud také $$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\hbox{tg} \ x}.$$ Nakonec poznamenejme, že jsme několikrát použili větu po výpočtu limity složené funkce, přičemž vnitřní funkce nikdy nenabývala nuly na nějakém prstencovém okolí nuly.

• Výsledek

  1

• Varianta 3

  $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\hbox{tg}(x) - \sin(x)}{x^3}$

• Řešení

  $$\lim_{x\to 0}\frac{\hbox{tg}(x) - \sin(x)}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{x^2} = 1 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{(\cos x)x^2} =$$ $$= \lim_{x\to 0} \frac1{\cos x}\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{(1 + \cos x)x^2} = 1 \cdot \lim_{x\to 0} \frac1{1 + \cos x} \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 1 \cdot \frac12 {\cdot} 1 \cdot 1 = \frac12.$$

• Výsledek

  $\frac12$

• Varianta 4

  $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^3(x)}{x \sin (\pi x)}$

• Nápověda

  Rozložte $1 - \cos^3 x$ jako $(1-\cos x)(1 + \cos x + \cos^2 x)$.

• Výsledek

  $\frac{3}{2\pi}$

• Varianta 5

  $\displaystyle \lim_{x\to \infty}x\sin{\left( \frac1x\right)}$

• Nápověda

  Použijte větu o limitě složené funkce s vnitřní funkcí $\frac 1x$.

• Výsledek

  1

• Varianta 6

  $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{a^x - 1}{x}, a > 0$

• Řešení

  $$\lim_{x\to 0}\frac{a^x - 1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\left(e^{\ln a}\right)^x - 1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln a} - 1}{x\cdot \ln a} \cdot \ln a = 1 \cdot \ln a = \ln a.$$

• Výsledek

  $\ln a$

• Varianta 7

  $\displaystyle \lim_{x\to e}\frac{\ln x - 1}{x - e}$

• Řešení

  $$\lim_{x\to e}\frac{\ln x - 1}{x - e} = \lim_{x\to e}\frac{\ln x - \ln e}{x - e} = \lim_{x\to e}\frac{\ln \left( \frac xe\right)}{x - e} = \lim_{x\to e}\frac{\ln \left( \frac xe\right)}{e(\frac xe - 1)} = \frac1e.$$ V úpravách využíváme známé limity $$\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1} = 1,$$ a hlídáme si podmínky pro limitu složené funkce (rozmyslete si, že $\frac{x}e$ nenabývá hodnoty $1$ na nějakém prstencovém okolí $e$)!

• Výsledek

  $e^{-1}$

• Varianta 8

  $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{\sqrt{\sin x}} - \cos x}{\sqrt x}$

• Řešení

  $$\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{\sqrt{\sin x}} - \cos x}{\sqrt x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{2\sqrt{\sin x}} - \cos^2 x}{\underbrace{(e^{\sqrt{\sin x}} + \cos x)}_{\to 2}\sqrt x} = \frac12 \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{2\sqrt{\sin x}} - 1 + \sin^2 x}{\sqrt x} =$$ $$= \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{2\sqrt{\sin x}} - 1}{2\sqrt x} + \frac12 \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin^2 x}{\sqrt x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{e^{2\sqrt{\sin x}} - 1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt x} + \frac12 \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin^2 x}{\sqrt x} =$$ $$= 1 {\cdot} 1 + \lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt x} \cdot \sin^{3/2} x = 1 + 1 {\cdot} 0 = 1.$$

• Výsledek

  1

• Varianta 9

  $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt x}} - \sqrt x$

• Nápověda

  Využijte vztahu $A - B = \frac{A^2 - B^2}{A+B}$.

• Výsledek

  $\frac12$

• Varianta 10

  $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\cos\left(\frac{\sin x}x\right)} {1 + \cos\left(\frac{\sin^2 x}{x^2}\right)}.$

• Výsledek

  $$\frac{\cos 1}{1 + \cos 1}$$

• Varianta 11

  $\displaystyle \lim_{x \to 0} (x + 1)^{\frac1x}.$

• Nápověda

  Výraz tvaru $a^b$ upravte na $e^{a \ln b}$, anebo převeďte na limitu $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac1x\right)^x = e$.

• Výsledek

  $e$