Alternující a konstantní posloupnosti

Úloha číslo: 2834

Spočítejte následující limity nebo dokažte, že neexistují.

Varianta 1
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} (-1)^n\)
Řešení
Ukážeme, že limita neexistuje. Z posloupnosti můžeme vybrat podposloupnost \((-1)^{2k}\), pro kterou platí \[\lim_{k\to\infty} (-1)^{2k} = \lim_{k\to\infty} 1 = 1.\] Podobně můžeme vybrat podposloupnost \((-1)^{2k+1}\) a máme \[\lim_{k\to\infty} (-1)^{2k+1} = \lim_{k\to\infty} -1 = -1.\] Pokud by limita existovala, musely by se tyto dvě hodnoty limitě rovnat, jsou však různé.
Výsledek
Limita neexistuje.
Varianta 2
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \cos(-1)^n\)
Řešení
Kosinus je sudá funkce, tedy \(\cos(-1)^n = \cos 1\). Máme tedy \[ \lim_{n\to\infty} \cos(-1)^n = \lim_{n\to\infty} \cos 1 = \cos 1. \]
Výsledek
\(\cos 1\)
Varianta 3
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} (-1)^{n!}\)
Řešení
Pro \(n \geq 2\) je \(n!\) sudé číslo. Tedy \((-1)^{n!} = 1\) pro \(n \geq 2\). Dostáváme tedy \[ \lim_{n\to\infty} (-1)^{n!} = \lim_{n\to\infty} 1 = 1. \] V druhé rovnosti jsme využili také toho, že hodnota limity nezávisí na konečném počtu členů.
Výsledek
1
Varianta 4
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^n}n\)
Nápověda
Spočtěte prvně \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac1n\)
Řešení
Nejprve si uvědomíme, že \[\lim_{n\to\infty} \frac1n = 0,\] neboť se jedná o limitu typu \(\frac{1}{\infty}\).

Dále použijeme fakt, že pro libovolnou posloupnost platí: Pokud \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} |a_n| = 0\), pak také \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = 0\). Odtud máme, že námi zjišťovaná limita je rovna \(0\).

Zmiňovaný fakt plyne z lemmatu o limitě sevřené posloupnosti. Totiž \[ \lim_{n\to\infty} -|a_n| \leq \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} |a_n| \] a pravá i levá limita jsou rovny \(0\).
Výsledek
\(0\)
Varianta 5
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \cos\left(\frac{n\pi}4\right)\)
Nápověda
Použijte podobný postup, jako ve variantě 1.
Řešení
Pro \(n = 8k\) máme vybranou podposloupnost \(\{\cos(2\pi k)\}\) s limitou \(1\). Pro \(n = 8k + 4\) máme vybranou podposloupnost \(\{\cos((2\pi + 1)k\}\) s limitou \(-1\). Limita tedy neexistuje.
Výsledek
Limita neexistuje.