Tvrzení o monotonii a extrémech
Úloha číslo: 2952
Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:
Varianta 1
Funkce \(f\) je na intervalu \(I\) rostoucí, právě když platí: \( \forall x,y\in I, x\ne y: \frac{f(x)-f(y)}{x-y}> 0 \)
Varianta 2
Je-li funkce \(f\) neklesající na intervalu \((-\infty,a\rangle\) a nerostoucí na \(\langle a,\infty)\) pro nějaké \(a\in\mathbb R\), potom \(f\) nabývá maxima.
Varianta 3
Nabývá-li funkce \(f\) minima v bodě \(a\in\mathbb R\), potom existuje \(\varepsilon>0\) takové, že \(f\) je nerostoucí na intervalu \((a-\varepsilon,a\rangle\) a neklesající na \(\langle a,a+\varepsilon)\).
Varianta 4
Má-li funkce \(f\) v bodě \(c\) limitu \(\infty\), potom je hodnota funkce \(f\) na každém prstencovém okolí \(P_\delta(c)\) neomezená.
Varianta 5
Je-li hodnota funkce \(f\) na každém prstencovém okolí \(P_\delta(c)\) shora neomezená, potom \(\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=\infty \).