Tvrzení o monotonii a extrémech

Úloha číslo: 2952

Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:

  • Varianta 1

    Funkce \(f\) je na intervalu \(I\) rostoucí, právě když platí: \( \forall x,y\in I, x\ne y: \frac{f(x)-f(y)}{x-y}> 0 \)

  • Varianta 2

    Je-li funkce \(f\) neklesající na intervalu \((-\infty,a\rangle\) a nerostoucí na \(\langle a,\infty)\) pro nějaké \(a\in\mathbb R\), potom \(f\) nabývá maxima.

  • Varianta 3

    Nabývá-li funkce \(f\) minima v bodě \(a\in\mathbb R\), potom existuje \(\varepsilon>0\) takové, že \(f\) je nerostoucí na intervalu \((a-\varepsilon,a\rangle\) a neklesající na \(\langle a,a+\varepsilon)\).

  • Varianta 4

    Má-li funkce \(f\) v bodě \(c\) limitu \(\infty\), potom je hodnota funkce \(f\) na každém prstencovém okolí \(P_\delta(c)\) neomezená.

  • Varianta 5

    Je-li hodnota funkce \(f\) na každém prstencovém okolí \(P_\delta(c)\) shora neomezená, potom \(\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=\infty \).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze