Posloupnosti jdoucí k e
Úloha číslo: 2841
Ukažte, že posloupnost \(\left(1+\frac1n\right)^n\) je rostoucí a posloupnost \(\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\) klesající.
Odtud ukažte, že tyto posloupnosti mají stejnou limitu.
Nápověda
Použijte Bernoulliho nerovnost.
Řešení
Označme \(a_n=\left(1+\frac1n\right)^n=\left(\frac{n+1}n\right)^n\).
\(\frac{a_{n-1}}{a_n}= \frac{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}}{\left(\frac{n+1}n\right)^n} = \frac{n}{n+1}\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^{n-1} = \frac{n}{n+1}\left(1+\frac{1}{n^2-1}\right)^{n-1} \le \frac{n}{n+1}\left(1+\frac{n-1}{n^2-1}\right)= \frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}<1 \).
Odtud \(a_n>a_{n-1}\) a posloupnost je rostoucí.
Nyní označme \(b_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=\left(\frac{1+n}n\right)^{n+1}\).
\(\frac{b_n}{b_{n-1}}= \frac{\left(\frac{n+1}n\right)^{n+1}}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n}} = \frac{n+1}{n}\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^{n} = \frac{n+1}{n}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n} \le \frac{n}{n+1}\left(1-\frac{n}{n^2}\right)= \frac{n-1}{n+1}<1. \)
Odtud \(b_n<b_{n-1}\) a posloupnost je klesající.
Protože \(a_n=\left(1+\frac1n\right) b_n\) je \(a_n<b_n\). Z monotonie obou posloupností odvodíme i \(a_n<b_{n'}\) pro libovolná \(n,n'\in\mathbb N\).
Zbývá ukázat, že \(e=\inf\{a_n,n\in \mathbb N\}\) je limitou posloupností \(a_n\) i \(b_n\). Pro všechna \(n\) platí \(a_n > e > b_n\). Navíc \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}= \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1n\right) =1 \).
Ovšem také \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} {a_n}-{b_n}= \lim_{n\to\infty} b_n\frac{{a_n}-{b_n}}{b_n}\le 4 \lim_{n\to\infty} \frac{{a_n}-{b_n}}{b_n}= 4 \left(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}-1\right)=0 \).
Tedy pro libovolné \(\varepsilon\) nalezneme \(n_0\), že pro \(n\ge n_0\) je \(a_n-b_n<\varepsilon\). Odtud již dostaneme přímo \(a_n-e<\varepsilon\) i \(e-b_n<\varepsilon\).
