Sbírka matematických úloh

Přesnost měření

Úloha číslo: 2743

• Varianta 1

  určili obvod obdélníka s přesností na $mm$.

• Řešení

  Uvažujeme jednotky milimetry a stejnou absolutní chybu $\varepsilon$ u obou měření: $a=80\pm\varepsilon$, $b=60\pm\varepsilon$.

  $o=2(a+b)=28\pm4\varepsilon$. Má-li být výsledná chyba nejvýše $\frac12\, mm$, máme $4\varepsilon< \frac12$ čili $\varepsilon<\frac18$.

• Výsledek

  Strany je třeba měřit s přesností alespoň $\frac18\, mm$.

• Varianta 2

  určili plochu obdélníka s přesností na $mm^2$.

• Řešení

  $P=ab=(80\pm\varepsilon)(60\pm\varepsilon)=4800\pm140\varepsilon\pm\varepsilon^2$.
  Má-li být výsledná chyba nejvýše $\frac12\,mm^2$, máme $140\varepsilon+\varepsilon^2< \frac12$ čili $\varepsilon<\frac{\sqrt{19602}-140}2\doteq 0{,}0035713$.

• Výsledek

  Strany je třeba měřit s přesností alespoň $3{,}5\,\mu{}m$.

• Varianta 3

  určili délku úhlopříčky obdélníka s přesností na mm.
  (Nehleďte na to, ze úhlopříčku bychom mohli změřit přímo.)

• Řešení

  $d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(80\pm\varepsilon)^2+(60\pm\varepsilon)^2}= \sqrt{6400\pm160\varepsilon+\varepsilon^2+3600\pm120\varepsilon+\varepsilon^2}= \sqrt{10000\pm280\varepsilon+2\varepsilon^2}$

  Nyní porovnáváme s $100\pm\frac12$, čili $\sqrt{10000\pm280\varepsilon+2\varepsilon^2}< \sqrt{(100\pm\frac12)^2}$.

  Odtud $280\varepsilon+2\varepsilon^2-100\frac14 \le 0$ a $\varepsilon<\frac{\sqrt{280^2+802}-280}4\doteq 0{,}35712$

  (Nerovnost $-280\varepsilon+2\varepsilon^2-99\frac34 \le 0$ dává horší odhad $\varepsilon<\frac{280-\sqrt{280^2-798}}4\doteq 0{,}35716$ )

• Výsledek

  Strany je třeba měřit s přesností alespoň $0{,}35\, mm$.

• Varianta 4

  určili plochu obdélníka s přesností na $cm^2$.

• Řešení

  Uvažujeme jednotky centimetry

  $P=ab=(8\pm\varepsilon)(6\pm\varepsilon)=48\pm14\varepsilon\pm\varepsilon^2$.
  Má-li být výsledná chyba nejvýše $\frac12\,cm^2$, máme $14\varepsilon+\varepsilon^2< \frac12$ čili $\varepsilon<\frac{\sqrt{198}-14}2\doteq 0{,}035623$.

• Výsledek

  Strany je třeba měřit s přesností alespoň $0{,}35\, mm$.