Supremová metrika a jednotkové vzdálenosti
Úloha číslo: 3156
Nechť \(X\) je množina všech omezených reálných funkcí na intervalu \([0, 1]\). Supremovou metriku na \(X\) definujeme jako \[ \rho_{s}(f, g) = \sup \{|f(x) - g(x)|\colon x \in [0, 1]\}, \] kde \(f\) a \(g\) jsou omezené funkce \([0, 1] \to \mathbb R\).
Varianta 1
Dokažte, že \((X, \rho_s)\) je opravdu metrický prostor.
Varianta 2
Najděte nekonečně mnoho omezených funkcí \(f_n\colon [0, 1] \to \mathbb R\) pro \(n \in \mathbb N\) takových, že \(\rho_s(f_i, f_j) = 1\), pokud \(i \neq j\).