Využijeme fakt \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}. \)
Podle Heineho věty z \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\text{ a } \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \text{ dostaneme } \lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos\tfrac{1}{n}}{(\tfrac{1}{n})^2}=\frac{1}{2}. \)
Pokud si tedy označíme \(\displaystyle a_n=\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)n^{\alpha}\), \(\displaystyle b_n=\frac{1}{n^2}n^{\alpha}, \) pak snadno dostaneme \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos\tfrac{1}{n}}{(\tfrac{1}{n})^2} =\frac{1}{2}\in(0,\infty). \)
Podle limitního srovnávacího kritéria tedy zadaná řada konverguje, právě tehdy když konverguje řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}n^{\alpha-2}. \) Tato řada bude konvergovat, právě když \(\alpha-2<-1\) neboli \(\alpha<1\).