Vytýkání kořenového činitele
Úloha číslo: 3061
Nechť \(P(x)\) je polynom stupně \(n \geq 1\) s kořenem \(c\), tj. \(P(c) = 0\). Dokažte, že \(P(x) = (x-c)Q(x)\), kde \(Q\) je nějaký polynom stupně \(n-1\).
Nápověda
Zkuste vytknout \(x - c\) z polynomu \(P(x) - P(c) = P(x) - 0\).
Řešení
Předpokládejme, že \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\). Potom \[ P(x) = P(x) - P(c) = a_n(x^n - c^n) + a_{n-1}(x^{n-1} - c^{n-1}) + \cdots + a_1 (x - c) + 0. \] Z každé, ze závorek \(x^k - c^k\) lze vytknout \(x-c\) neboť \[ x^k - c^k = (x-c)(x^{k-1} + x^{k-2} c + x^{k-3}c^2 + \cdots + xc^{k-2} + c^{k-1}). \] Tedy \((x-c)\) lze vytknout z celého \(P(x)\).
