Poznávání metrik

Pro množinu \(X\) a funkci \(\rho\colon X^2 \to \mathbb R\) rozhodněte, zda je funkce \(\rho\) metrika.

Varianta 1
\(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) a \(\rho\) je dána tabulkou:

1 2 3 4 5

1 0 2 6 4 4

2 2 0 3 2 4

3 6 3 0 2 4

4 4 2 2 0 4

5 4 4 4 4 0
Řešení
Ne, protože \(\rho(1, 2) + \rho(2, 3) < \rho(1, 3)\).
Varianta 2
\(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) a \(\rho\) je dána tabulkou:

1 2 3 4 5

1 0 5 6 5 3

2 5 0 5 8 4

3 6 5 0 5 3

4 5 8 5 0 4

5 3 4 3 4 0
Řešení
Ano, poměrně snadno můžeme manuálně ověřit, že jsou splněny všechny axiomy metriky.

Existuje však i přímočařejší řešení, pokud se odkážeme na znalost toho, že eukleidovská metrika je metrika. Bodům \(X\) přiřadíme body v \(\mathbb R^2\) následujícím způsobem: \(1 \to (0, 3)\), \(2 \to (4, 0)\), \(3 \to (0, -3)\), \(4 \to (-4, 0)\), \(5 \to (0, 0)\). Potom hodnoty v tabulce jsou přesně vzdálenosti mezi odpovídajícími přiřazenými body.