Sbírka matematických úloh

Extrémy

Úloha číslo: 3034

• Varianta 1

  $\displaystyle f(x)=\frac{|2x-1|}{(x-1)^2}$

• Řešení

  Definiční obor funkce je $\mathbb R\setminus \{1\}$. Funkce je na obou intervalech $(-\infty,1)$ a $(1,\infty)$ spojitá.

  Nejprve vyšetříme limity v krajních bodech definičního oboru.

  $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{|2x-1|}{(x-1)^2}= \lim_{x\to -\infty} \frac{1-2x}{x^2-2x+1}= \lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}{1-\frac2x+\frac1{x^2}}=0$

  $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{|2x-1|}{(x-1)^2}= \lim_{x\to \infty} \frac{2x-1}{x^2-2x+1}= \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac2x+\frac1{x^2}}=0$

  $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{|2x-1|}{(x-1)^2}= \lim_{x\to 1} \frac{2x-1}{(x-1)^2}= \infty$

  Pro $x< \frac 12$ je derivace funkce $f$

  $f'= \left(\frac{1-2x}{(x-1)^2} \right)'= \frac{-2(x-1)^2-(1-2x)\cdot 2(x-1)} {(x-1)^4}= \frac{2x}{(x-1)^3}$

  a pro $x> \frac 12$ dostaneme

  $f'= \left(\frac{2x-1}{(x-1)^2} \right)'= \frac{2(x-1)^2-(2x-1)\cdot 2(x-1)} {(x-1)^4}= \frac{-2x}{(x-1)^3}$

  V bodě $x=\frac 12$ je derivace funkce $f$ nespojitá, protože

  $\displaystyle \lim_{x\to \frac12^-} f'(x)= \lim_{x\to \frac12^-} \frac{2x}{(x-1)^3}= -8$

  zatímco

  $\displaystyle \lim_{x\to \frac12^+} f'(x)= \lim_{x\to \frac12^+} \frac{-2x}{(x-1)^3}= 8$

  Nulový bod derivace: $f'=0$ pro $x=0$.

  Dále pro $x\in (-\infty, 0)$ je $f'(x)>0$, tedy $f$ je rostoucí.
  Pro $x\in \left(0,\frac12\right)$ je $f'(x)<0$, tedy $f$ je klesající a v $x=0$ je lokální maximum.
  Pro $x\in \left(\frac 12{,}1\right)$ je $f'(x)>0$, tedy $f$ je rostoucí a v $x=\frac12$ je lokální minimum.
  Pro $x\in (1,\infty)$ je $f'(x)<0$, tedy $f$ je klesající.

  Lokální minimum v bodě $\left(\frac12{,}0\right)$ je zároveň globálním minimem.

• Výsledek

  Funkce je shora neomezená, nemá tedy globální maximum. Lokální maximum je v bodě $(0{,}1)$, globální minimum je v bodě $\left(\frac12{,}0\right)$.

  

• Varianta 2

  $\displaystyle f(x)=\exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)$

• Řešení

  Definiční obor funkce je $\mathbb R\setminus \{-1{,}1\}$. Funkce je sudá, stačí vyšetřit její chování na $\langle 0,\infty)$ Funkce je na obou intervalech $\langle0{,}1)$ a $(1,\infty)$ spojitá.

  Limity v krajních bodech $D_f$:

  $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)=e^1=e$

  $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} \exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)=0$

  $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} \exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)=\infty$

  Derivace funkce $f$ – s úpravou výrazu $\frac{x^2+1}{x^2-1}=1+\frac2{x^2-1}$

  $\displaystyle f'=\exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$

  Nulový bod derivace: $f'=0$ pro $x=0$.

  Pro $x\in (0{,}1)\cup (1,\infty)$ je $f'(x)<0$, tedy $f$ je klesající a v $x=0$ je lokální maximum.

• Výsledek

  Funkce je shora neomezená, nemá tedy globální maximum. Lokální maximum je v bodě $(0,e)$. Obor hodnot je $(0,\infty)$, globální minimum se nenabývá.

  {

  

• Varianta 3

  $\displaystyle f(x)=\ln\left(|x|-x^2\right)$

• Řešení

  Jde o sudou funkci, stačí ji vyšetřit na $\langle0,\infty)$. Definiční obor funkce $f$: Logaritmus je definován pro kladné hodnoty argumentu, tedy $|x|-x^2>0$. Odtud $D_f= (-1{,}0)\cup(0{,}1)$. Na obou intervalech je funkce spojitá.

  Limity v krajních bodech $D_f$:

  $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln\left(|x|-x^2\right)= \lim_{x\to 0^+}\ln\left((1-x)x\right)= \ln(1)\cdot \lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$

  $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\ln\left(|x|-x^2\right)= \lim_{x\to 1^-}\ln\left(x(1-x)\right)= \ln(1)\cdot \lim_{x\to 1^-}\ln(1-x)=-\infty$

  Derivace funkce $f$ – pro $x>0$:

  $f'= \left(\ln\left(x-x^2\right)\right)'= \frac{1-2x}{x-x^2}$

  Nulový bod derivace: $f'(x)=0$ pro $x=\frac12$

  Pro $x\in \left(0,\frac12\right)$ je $f'(x)>0$, tedy $f$ je rostoucí.
  Pro $x\in \left(\frac 12{,}1\right)$ je $f'(x)<0$, tedy $f$ je klesající a v $x=\frac12$ je lokální maximum, které je zároveň globálním maximem.

• Výsledek

  Funkce je zdola neomezená, nemá tedy globální minimum. Globální maxima jsou v bodech $\left(-\frac12,\ln\frac14\right)$ a $\left(\frac12,\ln\frac14\right)$.

  

• Varianta 4

  $\displaystyle f(x)=\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$

• Řešení

  Jde o lichou funkci, stačí ji vyšetřit na $\langle0,\infty)$. Definiční obor funkce $f$: Arkussinus je definován na intervalu $\langle-1{,}1\rangle$, tedy pro kladná $x$ požadujeme, aby platilo: $\frac{2x}{1+x^2}\le 1 \iff 2x \le 1+x^2 \iff 0\le (1-x)^2$, což je vždy splněno. Odtud $D_f=\mathbb R$. Funkce $f$ je navíc spojitá.

  Limity v krajních bodech $D_f$:

  $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)= \lim_{t\to 0} \arcsin t = 0$

  Derivace funkce $f$:

  $\displaystyle f'= \frac1{\sqrt{1- \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2 }}\cdot \frac{2(1+x^2)-4x^2}{\left(1+x^2\right)^2}= \frac{2(1-x^2)}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^2}}\cdot\frac{1}{1+x^2}= \frac{2(1-x^2)}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^2}}\cdot\frac{1}{1+x^2}$

  Tento výraz není definován pro $x=1$. Ověříme, jestli $f'(1)$ lze určit limitou. Máme $\lim_{x\to 1^-}f'(x)=1$ zatímco $\lim_{x\to 1^+}f'(x)=-1$, funkce tedy nemá pro $x=1$ derivaci. $D_{f'}=\mathbb R\setminus\{-1{,}1\}$.

  Derivace $f'$ nemá žádné nulové body.

  Pro $x\in (0{,}1)$ je $f'(x)>0$, tedy $f$ je rostoucí.
  Pro $x\in (1,\infty)$ je $f'(x)<0$, tedy $f$ je klesající a v $x=1$ je lokální maximum, které je zároveň globálním maximem.

• Výsledek

  Globální maximum je v bodě $\left(1,\frac\pi2\right)$ a globální minimum v bodě $\left(-1,-\frac\pi2\right)$.