Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Extrémy
Úloha číslo: 3034
Nalezněte globální a lokální extrémy funkcí, a načrtněte jejich grafy.
Varianta 1
f(x)=|2x−1|(x−1)2
Řešení
Definiční obor funkce je R∖{1}. Funkce je na obou intervalech (−∞,1) a (1,∞) spojitá.
Nejprve vyšetříme limity v krajních bodech definičního oboru.
lim
\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{|2x-1|}{(x-1)^2}= \lim_{x\to \infty} \frac{2x-1}{x^2-2x+1}= \lim_{x\to \infty} \frac{\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac2x+\frac1{x^2}}=0
\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{|2x-1|}{(x-1)^2}= \lim_{x\to 1} \frac{2x-1}{(x-1)^2}= \infty
Pro x< \frac 12 je derivace funkce f
f'= \left(\frac{1-2x}{(x-1)^2} \right)'= \frac{-2(x-1)^2-(1-2x)\cdot 2(x-1)} {(x-1)^4}= \frac{2x}{(x-1)^3}
a pro x> \frac 12 dostaneme
f'= \left(\frac{2x-1}{(x-1)^2} \right)'= \frac{2(x-1)^2-(2x-1)\cdot 2(x-1)} {(x-1)^4}= \frac{-2x}{(x-1)^3}
V bodě x=\frac 12 je derivace funkce f nespojitá, protože
\displaystyle \lim_{x\to \frac12^-} f'(x)= \lim_{x\to \frac12^-} \frac{2x}{(x-1)^3}= -8
zatímco
\displaystyle \lim_{x\to \frac12^+} f'(x)= \lim_{x\to \frac12^+} \frac{-2x}{(x-1)^3}= 8
Nulový bod derivace: f'=0 pro x=0.
Dále pro x\in (-\infty, 0) je f'(x)>0, tedy f je rostoucí.
Pro x\in \left(0,\frac12\right) je f'(x)<0, tedy f je klesající a v x=0 je lokální maximum.
Pro x\in \left(\frac 12{,}1\right) je f'(x)>0, tedy f je rostoucí a v x=\frac12 je lokální minimum.
Pro x\in (1,\infty) je f'(x)<0, tedy f je klesající.Lokální minimum v bodě \left(\frac12{,}0\right) je zároveň globálním minimem.
Výsledek
Funkce je shora neomezená, nemá tedy globální maximum. Lokální maximum je v bodě (0{,}1), globální minimum je v bodě \left(\frac12{,}0\right).
Varianta 2
\displaystyle f(x)=\exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)
Řešení
Definiční obor funkce je \mathbb R\setminus \{-1{,}1\}. Funkce je sudá, stačí vyšetřit její chování na \langle 0,\infty) Funkce je na obou intervalech \langle0{,}1) a (1,\infty) spojitá.
Limity v krajních bodech D_f:
\displaystyle \lim_{x\to \infty} \exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)=e^1=e
\displaystyle \lim_{x\to 1^-} \exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)=0
\displaystyle \lim_{x\to 1^+} \exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)=\infty
Derivace funkce f – s úpravou výrazu \frac{x^2+1}{x^2-1}=1+\frac2{x^2-1}
\displaystyle f'=\exp\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)\frac{-4x}{(x^2-1)^2}
Nulový bod derivace: f'=0 pro x=0.
Pro x\in (0{,}1)\cup (1,\infty) je f'(x)<0, tedy f je klesající a v x=0 je lokální maximum.
Výsledek
Funkce je shora neomezená, nemá tedy globální maximum. Lokální maximum je v bodě (0,e). Obor hodnot je (0,\infty), globální minimum se nenabývá.
{Varianta 3
\displaystyle f(x)=\ln\left(|x|-x^2\right)
Řešení
Jde o sudou funkci, stačí ji vyšetřit na \langle0,\infty). Definiční obor funkce f: Logaritmus je definován pro kladné hodnoty argumentu, tedy |x|-x^2>0. Odtud D_f= (-1{,}0)\cup(0{,}1). Na obou intervalech je funkce spojitá.
Limity v krajních bodech D_f:
\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\ln\left(|x|-x^2\right)= \lim_{x\to 0^+}\ln\left((1-x)x\right)= \ln(1)\cdot \lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\ln\left(|x|-x^2\right)= \lim_{x\to 1^-}\ln\left(x(1-x)\right)= \ln(1)\cdot \lim_{x\to 1^-}\ln(1-x)=-\infty
Derivace funkce f – pro x>0:
f'= \left(\ln\left(x-x^2\right)\right)'= \frac{1-2x}{x-x^2}
Nulový bod derivace: f'(x)=0 pro x=\frac12
Pro x\in \left(0,\frac12\right) je f'(x)>0, tedy f je rostoucí.
Pro x\in \left(\frac 12{,}1\right) je f'(x)<0, tedy f je klesající a v x=\frac12 je lokální maximum, které je zároveň globálním maximem.Výsledek
Funkce je zdola neomezená, nemá tedy globální minimum. Globální maxima jsou v bodech \left(-\frac12,\ln\frac14\right) a \left(\frac12,\ln\frac14\right).
Varianta 4
\displaystyle f(x)=\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)
Řešení
Jde o lichou funkci, stačí ji vyšetřit na \langle0,\infty). Definiční obor funkce f: Arkussinus je definován na intervalu \langle-1{,}1\rangle, tedy pro kladná x požadujeme, aby platilo: \frac{2x}{1+x^2}\le 1 \iff 2x \le 1+x^2 \iff 0\le (1-x)^2, což je vždy splněno. Odtud D_f=\mathbb R. Funkce f je navíc spojitá.
Limity v krajních bodech D_f:
\displaystyle \lim_{x\to \infty} \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)= \lim_{t\to 0} \arcsin t = 0
Derivace funkce f:
\displaystyle f'= \frac1{\sqrt{1- \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2 }}\cdot \frac{2(1+x^2)-4x^2}{\left(1+x^2\right)^2}= \frac{2(1-x^2)}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^2}}\cdot\frac{1}{1+x^2}= \frac{2(1-x^2)}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^2}}\cdot\frac{1}{1+x^2}
Tento výraz není definován pro x=1. Ověříme, jestli f'(1) lze určit limitou. Máme \lim_{x\to 1^-}f'(x)=1 zatímco \lim_{x\to 1^+}f'(x)=-1 , funkce tedy nemá pro x=1 derivaci. D_{f'}=\mathbb R\setminus\{-1{,}1\}.
Derivace f' nemá žádné nulové body.
Pro x\in (0{,}1) je f'(x)>0, tedy f je rostoucí.
Pro x\in (1,\infty) je f'(x)<0, tedy f je klesající a v x=1 je lokální maximum, které je zároveň globálním maximem.Výsledek
Globální maximum je v bodě \left(1,\frac\pi2\right) a globální minimum v bodě \left(-1,-\frac\pi2\right).