Numerický výpočet (s odhadem chyby)
Úloha číslo: 3069
S pomocí Taylorova polynomu přibližně vypočtěte \(\sqrt 2\) a odhadněte chybu.
Řešení
Označme \[\binom{a}{n} = \frac{a(a-1)\cdots(a-(n-1))}{n!}\] pro \(a \in \mathbb R\) a \(n \in \mathbb N_0\).
Napišme si Taylorův polynom pro funkci \((1 + x)^{\frac{1}{2}}\):
\[ (1 + x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \binom{\frac12}1 x + \binom{\frac12}2 x^2 + \binom{\frac12}3 x^3 + R_4(x), \] kde \(R_4(x)\) je zbytek Taylorova polynomu.
Pro tento zbytek navíc platí, že \(R_4(x) = \frac{f^{(4)}(c)}{4!}\cdot(x-0)^4\) pro nějaké \(c\) mezi \(1\) a \(x\), kde \(f = (1 + x)^{\frac12}\). Spočítáme-li tedy čtvrtou derivaci \[ f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-\frac72} \] Pro \(x = 1\) tedy chyba bude v absolutní hodnotě nejvýše \(\frac{15}{16 {\cdot} 4!} = 0{,}0390625\).
Nakonec tedy dosadíme do Taylorova polynomu:
\[ (1 + 1)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \binom{\frac12}1 1 + \binom{\frac12}2 1 + \binom{\frac12}3 1 = 1 + \frac12 - \frac18 + \frac3{48} = 1{,}4375. \]
Skutečná hodnota \(\sqrt 2\) je přibližně \(1{,}4142\). Kdybychom ji chtěli zjistit přesněji, vidíme, že bychom museli použít Taylorův polynom vyššího stupně.
