Limita složené funkce
Úloha číslo: 2961
Spočítejte limity
Varianta 1
\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \)
Řešení
Označme \(\displaystyle g(x)=1+\frac{1}{x^2}\), \(f(y)=\sqrt{y} \).
Snadno zjistíme, že \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x^2})=1 \) a \(\displaystyle \lim_{y\to 1}f(y)=\lim_{y\to 1}\sqrt{y}=1. \)
Funkce \(f\) je navíc spojitá v bodě \(y=1\), a proto podle věty o limitě složené funkce dostáváme \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to \infty}f(g(x))=1 \).
Varianta 2
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)}{x} \)
Nápověda
Rozšiřte podíl výrazem \(\frac{\sin x}{x}\),
Řešení
Část zadaného výrazu nám připomíná známou limitu \(\displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{\log(1+y)}{y}=1, \) a proto si zadanou funkci na prstencovém okolí \(0\) automaticky upravíme na \(\displaystyle \frac{\log(1+\sin x)}{x}=\frac{\log(1+\sin x)}{\sin x}\frac{\sin x}{x}. \)
Zadaná limita je tedy rovna
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)}{\sin x}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+\sin x)}{\sin x}. \)
Nyní použijeme větu o limitě složené funkce pro \(g(x)=\sin x\), \(f(y)=\frac{\log(1+y)}{y}\).
Víme, že \(\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=0\), a že \(\displaystyle \lim_{y\to 0}f(y)=1\).
Navíc na prstencovém okolí \(P(0{,}1)\) platí \(g(x)=\sin x\neq 0\). Proto podle věty o limitě složené funkce je limita na pravé straně rovna \(1\), a tedy i zadaná limita je rovna \(1\).
