Sbírka matematických úloh

Definiční obory funkcí jedné proměnné

Úloha číslo: 2767

• Varianta 1

  $f(x)=\frac1{1+\sin x}$

• Řešení

  Podíl není definován pro $\sin x=-1$, tedy pro $x=\frac{3\pi}2+2k\pi$.

• Výsledek

  Definiční obor funkce $f$ je $\mathbb R\setminus\{\frac{3\pi}2+2k\pi,k\in \mathbb Z\}$.

• Varianta 2

  $f(x)=\sqrt{\ln\frac1x}$

• Řešení

  Odmocnina je definována pro $\ln\frac1x\ge 0$, tedy $\frac1x\ge 1$.

• Výsledek

  Definiční obor funkce $f$ je interval $x\in(0{,}1\rangle$

• Varianta 3

  $f(x)=\ln\sin x$

• Řešení

  Funkce $\ln$ není definována pro nekladné hodnoty argumentu, tedy je-li $\sin x\le 0$, což je v intervalu $\langle -\pi,\pi\rangle$ interval $\langle -\pi,0\rangle$.

• Výsledek

  Definiční obor funkce $f$ je množina $\bigcup_{k\in \mathbb Z} (2k\pi,(2k+1)\pi)$.

• Varianta 4

  $f(x)=\ln\ln\sin x$

• Řešení

  Aby byl definován vnější (první) logaritmus, je třeba, aby $\ln\sin x >0$, což znamená $\sin x > 1$, což je již ovšem mimo obor hodnot funkce sinus.

• Výsledek

  Funkce $f$ není nikde definována.