Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Obtížnost
Štítky
Typ úlohy
«
«
Prosté zobrazení
Úloha číslo: 2809
Dokažte, že zobrazení f:N×N→N definované předpisem f(x,y)=(x+y)(x+y+1)2+y je prosté.
Nápověda
Pokuste se nejprve uspořádat dvojice (x,y) tak, aby hodnota funkce f rostla.
Řešení
Bez újmy na obecnosti uvažme nejprve případ (x+y)<(x′+y′). Potom
f(x,y)=(x+y)(x+y+1)2+y=12(x2+2xy+y2+x+3y)<12(x2+2xy+y2+3x+3y)= =12(x+y+1)(x+y+2)≤12(x′+y′)(x′+y′+1)<(x′+y′)(x′+y′+1)2+y=f(x′,y′) .Je-li (x+y)=(x′+y′) a y<y′ dostaneme f(x,y)<f(x′,y′) okamžitě.
Z rovností (x+y)=(x′+y′) a y=y′ bychom dostali i x=x′, funkce f je tedy prostá.
