Exponenciála

Úloha číslo: 2962

Určete \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} \) za předpokladu, že \( \displaystyle e=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac1n\right)^n \)

  • Nápověda

    Vyjádřete si \(e\) jako limitu pro \(x\) jdoucí k 0.

    Raději pracujte s limitou využívající inverzní funkci – přirozený logaritmus.

  • Řešení

    Nejprve je třeba si uvědomit, že

    \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}\right)^{-1} \).

    Zavedením \(x=\frac 1n\) dostaneme

    \( \displaystyle e= \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac1n\right)^n= \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)^x= \lim_{x\to 0^+}\left(1+x\right)^{\frac1x} \)

    Uvědomte si, že v tomto kroku jsme nahradili posloupnost \(\left(1+\frac1n\right)^n\) funkcí \(\left(1+\frac1x\right)^x\), tedy je potřeba ověřit např. spojitost a monotonii této funkce na \((1,\infty)\), aby i limita výsledné funkce existovala.

    Potřebujeme však oboustrannou limitu, tedy

    \( \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\left(1+x\right)^{\frac1x}= \lim_{x\to 0^+}\left(1-x\right)^{-\frac1x}= \left(\lim_{x\to 0^+}\left(1-x\right)^{\frac1x}\right)^{-1}= \left(e^{-1}\right)^{-1}=e. \)

    Zde jsme použili podobný argument jako výše, pouze jsme vyšli z limity posloupnosti \( \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac1n\right)^n=e^{-1} \), což jde ovšem odvodit z \( \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e \).

    Odtud již dostaneme

    \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(x+1)}{x}= \lim_{x\to 0}\ln\left(\exp\left(\frac{\ln(x+1)}{x}\right)\right)= \ln\left(\lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac1x}\right)=\ln e =1 \)

    Zbývá jen dopočítat

    \( \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x} = 1^{-1}=1 \).

    a také \( \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{e^x-1}{x}= \lim_{x\to 0^-}\frac{\left(\left(1-x\right)^{-\frac1x}\right)^x-1}{x}= \lim_{x\to 0^-}\frac{\frac1{1-x}-1}{x}= \lim_{x\to 0^-}\frac{1-(1-x)}{(1-x)x}=1 \)

  • Výsledek

    Limita je rovna 1.

Obtížnost: Obtížná úloha
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze