Použijeme zmíněný vztah a dostaneme nerovnosti:
\[\sqrt{\left(\sqrt{x^2}-\sqrt{y^2}\right)^2}\le \sqrt{(x+y)^2} \le \sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}\]
Protože všechny tři strany nerovností jsou kladná čísla, umocněním získáme:
\[\left(\sqrt{x^2}-\sqrt{y^2}\right)^2\le (x+y)^2 \le \left(\sqrt{x^2}\right)^2+2\sqrt{x^2y^2}+\left(\sqrt{y^2}\right)^2\]
Nyní roznásobíme dvojčleny a použijeme vztah \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\), čímž dostaneme nerovnosti:
\[x^2-2|xy|+y^2\le x^2+2xy+y^2 \le x^2+2|xy|+y^2\]
a z ní odečtením a vytknutím totožných členů již zřejmé \(-|xy|\le xy \le |xy|\).
Protože všechny použité úpravy byly vůči nerovnostem ekvivalentní, platí i obě výchozí nerovnosti.
